Gợi ý: Sử dụng 2 bổ đề sau: $\forall a,b,c>0$, ta có bđt:
$1$) $$\sum_{cyc}\dfrac{a^{2}}{b}\geq \dfrac{\left(\sum a\right)\left(\sum a^{2}\right)}{\sum ab}$$
$2$) Với $\sum ab=1$: $$\left(\sum a\right)\left(\sum a^{2}\right)\geq 3\sqrt{3}\sum a^{2}-11\sum a+9\sqrt{3}$$
Bổ đề $2$ là đánh giá chặt nhất và ta có thể xây dựng nhiều bđt khác trên cơ sở này
Trở lại bt:
Dễ cm $3\sqrt{3}\sum a^{2}-11\sum a+9\sqrt{3}\geq 2\sum a^{2}+\sqrt{3}-2$ với $\sum ab=1$. Từ đó suy ra đpcm
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dark Repulsor: 09-07-2021 - 11:37