$$\mathsf{solve}\left\{\begin{matrix}x+ y- z+ 1= 0\\ x^{2}- y^{2}+ z^{2}- 1= 0\\ x^{3}- y^{3}- z^{3}- 1= 0\end{matrix}\right.$$
$$\mathsf{solve}\left\{\begin{matrix}x+y-z+1=0\\x^2-y^2+z^2=1\\x^3-y^3-z^3=1\end{matrix}\right.$$
#1
Đã gửi 09-07-2021 - 12:21
#2
Đã gửi 09-07-2021 - 16:02
$\begin{cases}x+y-z+1=0(1)\\x^2-y^2+z^2=1(2)\\x^3-y^3-z^3=1(3)\end{cases}$
Nhận thấy $(-1;y;z)$ không phải là một nghiệm của hệ pt trên, xét $x\neq-1$ :
pt $(2)\Leftrightarrow(x-1)(x+1)=(y-z)(y+z)=(y+z)(-1-x)$
$\Rightarrow x-1=-y-z$
$\Leftrightarrow x+y=1-z$
Từ pt $(1)$ ta có: $z-1=x+y=1-z\Rightarrow z=1$
Thay $z=1$ vào hệ ban đầu ta được hệ mới: $$\begin{cases}x+y=0\\x^2-y^2=0\\x^3-y^3=2\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}$$
- DOTOANNANG yêu thích
#3
Đã gửi 09-07-2021 - 16:24
Bài này xét đủ case thoi.
Từ PT(1) ta có: $x+y=z-1$.
PT(2) cho ta: $(x-y)(x+y)=-(z+1)(z-1)$, suy ra $x+y=0$ hoặc $x-y=-(z+1)$.
a) Với $x+y=0$ thì $z=1$, suy ra từ PT(3) ta có: $2x^3=2$ nên $y=-1$.
b) Với $x-y=-z-1$ và $x+y=z-1$ nên $2x=-2$ hay $x=-1$.
Suy ra $y=z$, nên PT(3) ta có: $2y^3=-2$ hay $y=z=-1$.
Vậy có $2$ bộ: $(x,y,z)=(-1,-1,-1);(1,-1,1)$.
P/S: Bài này giải trên tập phức vui hơn Khi đó các điểm $x,y,z$ đều nằm trên đường tròn bán kính $1$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 09-07-2021 - 16:24
- perfectstrong, DOTOANNANG và Dang Hong Ngoc thích
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh