cho $a,b,c$ thỏa mãn: $ab+bc+ca+abc=2$
Tìm Max $\sum \frac{a+1}{a^{2}+2a+2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi UserNguyenHaiMinh: 17-09-2021 - 22:12
cho $a,b,c$ thỏa mãn: $ab+bc+ca+abc=2$
Tìm Max $\sum \frac{a+1}{a^{2}+2a+2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi UserNguyenHaiMinh: 17-09-2021 - 22:12
Đặt
$(x,y,z)\rightarrow (a+1,b+1,c+1)$
Lúc đó giả thiết trở thành:
$x+y+z=xyz\Leftrightarrow \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1$
Ta cần tìm giá trị lớn nhất của:
$\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1}$
Tiếp tục đặt:
$(p,q,r)\rightarrow (\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})$
Thì giả thiết thành:
$pq+qr+rp=1$
Và ta cần tìm giá trị lớn nhất của:
$\frac{p}{p^2+1}+\frac{q}{q^2+1}+\frac{r}{r^2+1}$
Ta có:
$\frac{p}{p^2+1}+\frac{q}{q^2+1}+\frac{r}{r^2+1}=\frac{p}{(p+q)(p+r)}+\frac{q}{(q+r)(q+p)}+\frac{r}{(r+p)(r+q)}=\frac{p(r+q)+q(r+p)+r(p+q)}{(p+q)(q+r)(r+p)}=\frac{2(pq+qr+rp)}{(p+q)(q+r)(r+p)}\leqslant \frac{2(pq+qr+rp)}{\frac{8}{9}(p+q+r)(pq+qr+rp)}=\frac{9}{4(p+q+r)}\leqslant \frac{9}{4.\sqrt{3(pq+qr+rp)}}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\sqrt{3}-1$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh