Bài toán: Giải hệ phương trình sau
$$\left\{\begin{matrix}x+y+z=3\\ x+2y^2+3z^3=6\\xy+yz+zx=2+xyz\end{matrix}\right.$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuc_90: 19-09-2021 - 12:22
Bài toán: Giải hệ phương trình sau
$$\left\{\begin{matrix}x+y+z=3\\ x+2y^2+3z^3=6\\xy+yz+zx=2+xyz\end{matrix}\right.$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuc_90: 19-09-2021 - 12:22
Hi vọng giải đúng.
Mấu chốt bài này là phép đặt ẩn phụ: $ a = 1-x; \ b = 1-y; \ c =1-z$
Với cách đặt ẩn phụ này thì hệ đã cho tương đương hệ sau:
$ \begin{cases} (1-a)+ (1-b)+(1-c) =3 \\ (1-a) +2(1-b)^2+ 3(1-c)^3 = 6 \\ (1-a)(1-b)+(1-b)(1-c)+ (1-c)(1-a) = (1-a)(1-b)(1-c) +2 \end{cases}$
$ \Leftrightarrow \begin{cases} 3 - (a+b+c) =3 \\ 6 -a -4b+2b^2 -9c+9c^2- 3c^3 = 6 \\ 3- 2(a+b+c) + (ab+bc+ca) = 1 -(a+b+c) +(ab+bc+ca) -abc +2 \end{cases}$
$ \Leftrightarrow \begin{cases} a+b+c = 0 \\ 3c^3 -9c^2 +9c -2b^2 +4b+ a = 0 \\ a+b+c = abc \end{cases}$
$ \Leftrightarrow \begin{cases} a+b+c = 0 \\ 3c^3 -9c^2 +9c -2b^2 +4b+ a = 0 & & (*) \\ abc = 0 \end{cases}$
Tới đây thì dễ rồi, do tích $abc=0$ ta chỉ cần xét $3$ trường hợp:
Trường hợp $1$: $ a= 0$
Thì khi đó hệ $(*)$ tương đương với:
$ \begin{cases} a=0 \\ 3c^3 -9c^2 +9c -2b^2 +4b= 0 \\ b+c = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a=0 \\ 3c^3 -9c^2 +9c -2c^2 -4c= 0 \\ b = -c \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a=0 \\ b = -c \\ 3c^3 -11c^2 +5c = 0 \end{cases}$
$ \Leftrightarrow \begin{cases} a=0 \\ b = -c \\ c(3c^2 -11c +5) = 0 \end{cases}$
Phương trình $ 3c^2-11c+5=0 $ có 2 nghiệm: $c = \frac{11\pm \sqrt{61}}{6} $ nên suy ra trường hợp này ta thu được 3 bộ nghiệm $ \left( a; \ b; \ c \right)$:
$ \left( 0; \ 0; \ 0 \right); \left( 0; \ \frac{- 11- \sqrt{61}}{6}; \ \frac{11+ \sqrt{61}}{6} \right) ; \left( 0; \ \frac{- 11+ \sqrt{61}}{6}; \ \frac{11- \sqrt{61}}{6} \right)$
Trường hợp $2$: $ b= 0$
Thì khi đó hệ $(*)$ tương đương với:
$ \begin{cases} b=0 \\ 3c^3 -9c^2 +9c +a= 0 \\ a+c = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b=0 \\ 3c^3 -9c^2 +9c -c= 0 \\ a = -c \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b=0 \\ a = -c \\ 3c^3 -9c^2 +8c = 0 \end{cases}$
$ \Leftrightarrow \begin{cases} b=0 \\ a = -c \\ c(3c^2 -9c +8) = 0 \end{cases}$
Do phương trình bậc $2$ : $3c^2 -9c+8=0$ vô nhiệm nên trường hợp này chỉ có 1 bộ nghiệm $ \left( a; \ b; \ c \right)$ là $ \left( 0; \ 0; \ 0 \right)$
(Lưu ý ở đây ta giải trên tập số thực, nếu chấp nhận giải trên tập số phức thì sẽ có thêm vài nghiệm, cụ thể là sẽ có thêm $2$ bộ nghiệm phức )
Trường hợp $3$: $ c= 0$
Thì khi đó hệ $(*)$ tương đương với:
$ \begin{cases} c=0 \\ -2b^2 +4b+ a = 0 \\ a+b = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} c=0 \\ -2b^2 +4b- b = 0 \\ a = -b \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} c=0 \\ a = -b \\ 2b^2 -3b=0 \end{cases}$
Do phương trình bậc $2$ : $2b^2 -3b=0$ có $2$ nghiệm :$ b=0 ; \ b = \frac{3}{2}$ nên trường hợp này ta thu được 2 bộ nghiệm $ \left( a; \ b; \ c \right)$ là : $ \left( 0; \ 0; \ 0 \right) $và $ \left( \frac{-3}{2}; \ \frac{3}{2} ; \ 0 \right)$
Từ đây suy ra hệ đã cho có $4$ bộ nghiệm $ \left( x; \ y; \ z \right)$ là:
$ \left( 1; \ 1; \ 1 \right) ; \left( \frac{5}{2}; \ \frac{-1}{2} ; \ 1 \right) ; \left( 1; \ \frac{17+ \sqrt{61}}{6}; \ \frac{-5 - \sqrt{61}}{6} \right); \left( 1; \ \frac{17- \sqrt{61}}{6}; \ \frac{-5+ \sqrt{61}}{6} \right)$
Bài toán theo đó được giải quyết hoàn toàn.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 19-09-2021 - 07:59
Đúng rồi ông bạn già
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh