Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Tại sao phải học hình học đại số?

toán học lý thú

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 nmlinh16

nmlinh16

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 25 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hạ Long
  • Sở thích:Algebraic invariant theory, Algebraic topology, Analytic number theory

Đã gửi 03-01-2020 - 02:00

Bài dịch từ bài gốc trên mathstackexchange: https://math.stackex...eCpTL64-MwpRhBI

 

Q: Tôi đang chuẩn bị bắt đầu tự học hình học đại số (HHĐS). Tôi tự hỏi rằng vì sao các nhà toán học nghiên cứu HHĐS? Các bài toán nào được quan tâm bởi các nhà HHĐS? Những định lý đẹp nhất của HHĐS là gì?

 

 

Câu trả lời của thành viên Javier Álvarez:

 

 

Bản thân tôi khuyến khích bạn bắt đầu và lấy động lực từ những tài liệu miễn phí sau. Chúng rất mang tính sư phạm, từ những nội dung cơ bản nhất của đường cong đại số phức tới Lược đồ (scheme) và Lý thuyết giao (intersection theory) với định lý Grothendieck-Riemann-Roch, tới một số định lý mà tôi sẽ nói dưới đây. Chúng rất tuyệt cho việc tự học khi vừa chặt chẽ về mặt toán học, vừa có rất nhiều hình vẽ (đáng tiếc là một số trong chúng lại không được phổ thông cho lắm?)

 

Tài liệu sau đây khá nổi tiếng, dài, nặng, trừu tượng, và phù hợp cho việc tự học:

Ngoài ra còn có một số nhiều video bài giảng đầy đủ về HHĐS sơ cấp, mặt đại số,...

mà bạn có thể bắt đầu một cách từ từ (cùng sách của tác giả) để đi đến định lý phân loại mặt.

 

 

Ngày nay, HHĐS là một trong những ngành lâu đời nhất, sâu nhất, rộng nhất và hoạt động tích cực nhất của toán học, với những kết nối tới gần như tất cả các nhánh toán học khác, trực tiếp hoặc gián tiếp. Động lực chính bắt đầu từ Pierre de Ferrmat và René Descartes, những người đã nhận ra rằng để nghiên cứu hình học, chúng ta có thể làm việc với các phương trình đại số thuần túy thay vì vẽ hình (và đó là điều bắt buộc khi làm việc với các đối tượng nhiều chiều hơn, vì trực giác của con người không cho phép). Phương trình cơ bản nhất mà người ta có thể hình dung là những phương trình đa thức (của các biến tọa độ của mặt phẳng/không gian, hay tổng quát hơn là trong một trường số/number field), vì đó là những xây dựng căn bản từ những phép toán số học sơ cấp.  Phương trình bậc nhất (đa thức bậc nhất) mô tả những đường thẳng, mặt phẳng, không gian véc-tơ con hay siêu phẳng (hyperplane). Phương trình bậc hai gồm tất cả các đường conic (giao tuyến của mặt phẳng và mặt nón) cổ điển; sự thật là vấn đề phân loại conic trong mặt phẳng Euclid affine và xạ ảnh (trên trường số thực và phức) chính là bài toán HHĐS đầu tiên mà mọi sinh viên đều biết: Bài toán phân loại tất cả các dạng chính tắc của đa thức bậc 2 (sai khác một phép biến đổi affine hoặc một phép đẳng cự/phép dời hình với 2 biến $(x, y)$, hoặc một phép biến đổi xạ ảnh với 3 biến thuần nhất $[x:y:z]$). Như vậy, các đường cong phẳng trên trường số thực có thể được nghiên cứu bởi các tính chất đại số của các đa thức. Thực ra, làm việc trên trường số phức sẽ tự nhiên hơn, vì đó là bao đóng đại số của trường số thực, nên nó đơn giản hóa rất nhiều vấn đề, như Định lý cơ bản của đại số và Định lý không điểm Hilbert (Nullstellensatz). Ngoài ra, làm việc với các đa tạp xạ ảnh bằng cách mở rộng không gian của chúng ta (thêm các điểm ở xa vô tận) cũng giúp rất nhiều, vì khi đó chúng ta làm việc với các đối tượng compact - một số vấn đề khó chịu sẽ biến mất, chẳng hạn hai đường cong bất kỳ luôn cắt nhau tại ít nhất một điểm (có thể ở xa vô tận), ta thu được Định lý Bézout. 

 

 

Từ góc nhìn thực hành thuần túy, người ta nhận ra rằng các hàm giải tích (analytic) không phải đa thức có thể xấp xỉ được bằng các hàm đa thức (chẳng hạn, chặt đuôi của khai triển chuỗi lũy thừa) - đó chính là những gì máy tính (calculator/computer) làm khi tính, chẳng hạn, các hàm lượng giác. Khi bất kỳ một phần mềm nào vẽ một mặt siêu việt (hay đa tạp), thực ra chúng đang vẽ một xấp xỉ đa thức của đối tượng đó (một đa tạp đại số). Như vậy, nghiên cứu HHĐS theo nghĩa ứng dụng và tính toán là tiền đề của phần còn lại của hình học.

 

 

Từ góc nhìn toán học thuần túy, HHĐS xạ ảnh phức là một vấn đề trung tâm. Lí do là vì nhiều kết quả (như Nguyên lý Lefschetz), nói rằng nghiên cứu hình học (đại số) trên một trường đóng đại số với đặc số $0$ về căn bản là tương đương với HHĐS xạ ảnh phức; Định lý  Chow nói rằng mỗi đa tạp xạ ảnh phức đều là một đa tạp đại số, nghĩa là Hình học vi phân và Hình học đại số đang cùng làm việc với một đối tượng (Mọi đa tạp xạ ảnh phức đều là tập không điểm của một họ hữu hạn các đa thức thuần nhất). Định lý này được làm mạnh thành Định lý GAGA Jean-Pierre-Serre, thống nhất và tương đương hóa Hình học giải tích và Hình học đại số trong một bối cảnh rất tổng quát. Đặc biệt, trường hợp đường cong đại số xạ ảnh phức chính là các mặt compact định hướng được (chúng luôn thừa nhân một cấu trúc chỉnh hình/holomorphic), và như vậy Lý thuyết của các diện Riemann compact của giải tích phức và Hình học vi phân (Tô-pô đại số của các đa tạp 2-chiều và Hình học đại số của các đường con đại số) của các mặt thực được thống nhất. Ở đây, người ta thấy những kết quả tuyệt đẹp và sâu sắc như hệ quả khái niệm Bậc của ánh xạ, chỉ số và độ cong, tất cả được kết nối bởi các định lý cột mốc như Gauss-Bonnet, Poincaré-Hopf hay Riemann-Roch. Việc phân loại các đường cong đại số theo giống (genus) của chúng; một bất biến được chứng minh là như nhau trên những phương diện khác nhau: giống tô-pô (số quai cầm của chiếc bánh doughnut), giống số học (đa thức Hilbert) và giống hình học (số 2-dạng vi phân/differential form chỉnh hình độc lập trên một diện Riemann). Tương tự, việc nghiên cứu các đa tạp 4-chiều thực của Hình học vi phân và Tô-pô vi phân là một vấn đề trung tâm không chỉ của toán học mà cả Vật lý lý thuyết, như Lý thuyết chuẩn (gauge theory), vì thế việc nghiên cứu các mặt cong đại số trên trường số phức cung cấp các kết quả và công cụ cần thiết. Việc phân loại hoàn chỉnh (sai khác đến mức song hữu tỉ/birational) của các mặt đại số đã được thiết lập bởi Định lý Kodaira-Enrique và là xuất phát điểm của "Chương trình mô hình cực tiểu Mori" (Mori nimial model program) - đó là ý đồ phân loại tất cả các đa tạp đại số (xạ ảnh) phức với số chiều cao hơn đến mức độ song hữu tỉ. Sự khác biệt căn bản với các dạng hình học khác là sự hiện diện của kỳ dị (singularity), đóng vai trò rất quan trọng trong HHĐS, lý do là vì nhiều trở ngại xuất hiện cũng bởi chúng; tuy nhiên Định lý giải Hirokana khẳng định, ít nhất là trên trường với đặc số $0$, rằng mọi đa tạp đều có một mô hình song hữu tỉ trơn (không có kỳ dị). Hơn nữa, các không gian moduli (moduli space) của các đối tượng hình học là một chủ đề quan trọng (chẳng hạn, xây dựng Deligne-Mumford), vì không gian tất cả các đối tượng như vậy thường (lại) là một đối tượng HHĐS. Có rất nhiều định lý và kết quả thú vị trong Hình học đếm (enumerative geometry) và Lý thuyết giao, từ cổ điển, đến định lý Cayley-Salmon, nói rằng mọi mặt bậc 3 trên một trường đóng đại số đều chứa đúng 27 đường thẳng, công thức Thom-Porteus cho cụm suy biến (degeneracy locus), tính toán Schubert tới đối đồng điều lượng tử (Công thức Kontsevich và ELSV), định lý Torelli và việc xây dựng một đường cong đại số từ đa tạp Jacobi của nó, và cuối cùng là Định lý Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch, đếm số lớp cắt toàn cục (global section) độc lập của một phân thớ véc-tơ (vector bundle), chính xác hơn là đặc trưng Euler-Poincaré của nó, nhờ bội giao (intersection number) của các cụm không điểm tổng quát (generic zero locus) của lớp đặc trưng (characteristic class) trên đa tạp.

 

 

Bên cạnh tất cả những điều này, kể từ những đóng góp khổng lồ mang tính nền tảng của Alenxander Grothendieck, HHĐS đã có một nền tảng vững chắc, trừu tượng và mạnh mẽ để có thể kết hợp được với Lý thuyết số, như nhiều người đã hi vọng trước đó. Hình học đại số trừu tượng với những đối tượng như bó (sheaf) và lược đồ (scheme) ngày nay đóng một vai trò then chốt trong Lý thuyết số đại số (algebraic number theory), được biết đến dưới dạng Hình học số học/Hình học Diophantine (arithmetic geometry). Các kết quả kỳ diệu như Định lý Faltings, Định lý Mordell-Weil đều sử dụng những nền tảng trên, cũng như chứng minh nổi tiếng của Andrew Wiles cho Định lý lớn Fermat (FLT). Sự phát triển của HHĐS trừu tượng ít nhiều được thúc đẩy bởi Giả thuyết Weil liên hệ giữa số nghiệm của một hệ phương trình đa thức trên một trường hữu hạn với hình học của đa tạp phức được định nghĩa bởi các đa thức đó. Những công cụ hầm hố hơn đã được phát triển, như đối đồng điều étale. Việc áp dụng các xây dựng của hình học phức vào số học đã dẫn đến hình học Arakelov và Định lý Grothendieck-Riemann-Roch số học cùng nhiều kết quả khác.

 

 

Liên quan đến HHĐS, nhờ Lý thuyết lược đồ, một ngành mới mang tên Tô-pô số học đã ra đời, nơi những tính chất của số nguyên tố và Lý thuyết số đại số có những liên hệ và đối ngẫu với Lý thuyết nút (knot theory) và các đa tạp 3-chiều. Đây là một chủ đề mới mẻ, bí ẩn và thú vị, vì các nút và link cũng xuất hiện trong Vật lý lý thuyết (như Lý thuyết trường lượng tử tô-pô). Ngoài ra, Hình học anabel đã dẫn đường đến những nghiên cứu về mỗi quan hệ giữa nhóm cơ bản (fundamental group) của các đa tạp đại số và nhóm Galois của các mở trộng trường (field extension) số học.

 

 

Tóm lại, các nhà toán học nghiên cứu HHĐS vì đó là linh hồn của nhiều ngành khác, có tác dụng như cầu nối giữa các lĩnh vực tưởng như khác nhau; từ Hình học và Tô-pô đến Giải tích phức và Lý thuyết số. Sau cùng, đối với bất kỳ ngành nào nghiên cứu một đối tượng đại số cụ thể, việc nghiên cứu hình học của các đối tượng này cho ta một công cụ hữu ích và những nỗ lực thú vị trong chính bản thân chúng. Điều kiện "đại số giao hoán" đã được vượt qua nhờ công trình của Alain Connes, thứ đã mở ra một ngành mới mang tên Hình học không giao hoán (noncommutative geometry), với phong cách đại số và giải tích, với tham vọng hoàn thành quá trình "hình học hóa" toán học. Mặt khác, nó mang lại phiên bản lượng tử của hình học cổ điển, thứ được quan tâm rất nhiều trong Vật lý cơ bản (Hình học phức và Hình học không giao hoán xuất hiện một cách gần như bất buộc theo cách này hay cách khác trong mọi nỗ lực thống nhất các lực cơ bản với lực hấp dẫn, tức là Lý thuyết trường lượng tử với Lý thuyết tương đối rộng; thậm chí là Hình học đại số trừu tượng/phạm trù cũng có vai trò trong những chủ đề như Đối xứng gương đồng điều/homological mirror symmetry và Đối đồng điều lượng tử, những đối tượng có nguồn gốc vật lý).

 

 

 

Như vậy, các bài toán mà các nhà toán học đang giải trong HHĐS liên quan rất nhiều đến mọi thứ khác, gần như là bất kỳ điều gì liên quan đến phân loại (đến mức rõ ràng nhất có thể) của các đa tạp đại số (và một ngày nào đó có thể là các lược đồ), các bất biến, kỳ dị, biến dạng và không gian moduli, giao, tô-pô và hình học vi phân, các bài toán số học ở dạng hình học). Có nhiều bài toán mở thú vị:

 

Bản thân tôi bắt đầu từ Vật lý lý thuyết nhưng sau đó chuyển hoàn toàn sang Toán học lý thuyết vì HHĐS, và cũng đang bắt đầu tự học. Đó là một lĩnh vực rất sâu với những kết nối tới hầu như tất cả mọi thứ khác, khi mà người ta đã học đủ để nhận ra. Ngành này cũng đòi hỏi rất cao với yêu cầu background rất lớn, chẳng hạn về Đại số giao hoán và Đại số đồng điều (homological algebra), trước khi có thể tiếp cận những kết quả hiện đại và thú vị nhất. Nhưng nỗ lực sẽ được đền đáp! Sự thật là con đường qua Đại số giao hoán không chỉ dọn đường tới HHĐS mà còn tới Lý thuyết số đại số hay Hình học số học. Tôi có một background mạnh về Hình học vi phân nên tôi tiếp cận HHĐS bằng Hình học phức (Kähler), và bị mê hoặc cả bởi những dạng trừu tượng nhất của nó.

"Hình học đại số dường như được coi là mang trong mình sự bí truyền, độc quyền và rất trừu tượng, với những ai có âm mưu chiếm lấy tất cả phần còn lại của toán học. Một mặt nào đó, điều cuối cùng là chính xác... (Algebraic geometry seems to have acquired the reputation of being esoteric, exclusive, and very abstract, with adherents who are secretly plotting to take over all the rest of mathematics. In one respect this last point is accurate...)" - David Mumford.

 

Vì thế, câu hỏi lẽ ra nên là "Tại sao không học hình học đại số?". Hi vọng rằng câu trả lời này là đủ để thúc đẩy bạn sâu hơn vào đại dương rộng lớn này của thế giới toán học và tự mình kiểm chứng. Chúc may mắn!

 

Một danh sách phong phú các tài liệu về Hình học đại số, từ cơ bản đến nâng cao: https://math.stackex...y/269446#269446.

Động lực học Hình học đại số cùng với một số tài liệu tự học: https://math.stackex...s/285355#285355

Một số câu hỏi tương tự: https://math.stackex...ons/24443#24443

https://math.stackex...try/46921#46921

và https://math.stackex...rne/24447#24447


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmlinh16: 03-01-2020 - 02:04

$$x - \sum_{\substack{0 < \operatorname{Re} \rho < 1 \\ \zeta(\rho) = 0}} \frac{x^\rho}{\rho} - \log 2\pi - \frac{1}{2}\log(1-x^{-2}) = \frac{\psi(x+0) + \psi(x - 0)}{2}, \qquad \psi(x) = \sum_{\substack{p^n \le x \\  n \ge 1}} \log p.$$

 

"Wir müssen wissen, wir werden wissen." - David Hilbert


#2 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1549 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:done with math

Đã gửi 05-01-2020 - 21:45


Tài liệu sau đây khá nổi tiếng, dài, nặng, trừu tượng, và phù hợp cho việc tự học:

Không có cách nào khác ngoài đâm đầu vào một trong những cái tường như thế này:

  • Robin Hartshorne, Algebraic Geometry.
  • Alexandre Grothendieck & Jean Dieudonné, Éléments de géométrie algébrique.

Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#3 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4263 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 06-01-2020 - 05:31

Hy vọng có anh em nào mở một phong trào học Hình học đại số tại đây :D Mình cũng đang học lẹt bẹt cái này ...


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#4 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1549 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:done with math

Đã gửi 06-01-2020 - 06:41

Hy vọng có anh em nào mở một phong trào học Hình học đại số tại đây :D Mình cũng đang học lẹt bẹt cái này ...


Vấn đề là không có mấy người tham gia đó Toàn.

Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#5 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4263 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 06-01-2020 - 08:09

Vấn đề là không có mấy người tham gia đó Toàn.

 

Không biết khoảng mấy người tham gia thì được coi là đủ nhỉ? 5-10 người chăng? 

Thành viên DDTH cùng lứa tụi mình chắc cũng đang học đại học cả. 


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#6 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1549 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:done with math

Đã gửi 06-01-2020 - 10:48

Không biết khoảng mấy người tham gia thì được coi là đủ nhỉ? 5-10 người chăng? 
Thành viên DDTH cùng lứa tụi mình chắc cũng đang học đại học cả.


Theo tớ tầm $10$ người là vừa chứ ví dụ $5$ tớ vẫn thấy ít. Cậu xem rủ được ai không?

Hơn nữa nếu mở thì sẽ trao đổi theo hình thức nào? Ví dụ một người đặt vấn đề còn lại thảo luận chẳng hạn (dĩ nhiên tạm bỏ qua khả năng mỗi người) hoặc ta sẽ bắt đầu từ đâu ...

Nhân tiện, cậu còn dùng Facebook không, nếu có hứng thú đại số tớ add vào một nhóm.

Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#7 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4263 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 07-01-2020 - 05:50

Theo tớ tầm $10$ người là vừa chứ ví dụ $5$ tớ vẫn thấy ít. Cậu xem rủ được ai không?

Hơn nữa nếu mở thì sẽ trao đổi theo hình thức nào? Ví dụ một người đặt vấn đề còn lại thảo luận chẳng hạn (dĩ nhiên tạm bỏ qua khả năng mỗi người) hoặc ta sẽ bắt đầu từ đâu ...

Nhân tiện, cậu còn dùng Facebook không, nếu có hứng thú đại số tớ add vào một nhóm.

 

Tớ không biết nhiều người lắm, nhưng để tớ thử.

 

Theo tớ trao đổi với nhiều người thì tốt nhất khi mọi người đang ở trong cùng một trang (i.e. có cùng động lực để học cái gì đó, background cũng xấp xỉ nhau). Ví dụ theo kiểu seminar. Mọi người chọn một topic lớn nào đó làm mục tiêu rồi ta hỏi/thảo luận bắt đầu từ đầu. 

Nhưng nếu thế thì thực ra theo tớ khoảng 3-5 người là đủ rồi, miễn là mọi người đều tham gia thảo luận. Chứ 10 người kiếm khó lắm, nếu mà học cái gì đó cao. 

 

Tớ vẫn thỉnh thoảng lên Facebook, cậu add tớ với. 


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#8 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1549 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:done with math

Đã gửi 07-01-2020 - 18:51

Tớ không biết nhiều người lắm, nhưng để tớ thử.

 

Theo tớ trao đổi với nhiều người thì tốt nhất khi mọi người đang ở trong cùng một trang (i.e. có cùng động lực để học cái gì đó, background cũng xấp xỉ nhau). Ví dụ theo kiểu seminar. Mọi người chọn một topic lớn nào đó làm mục tiêu rồi ta hỏi/thảo luận bắt đầu từ đầu. 

Nhưng nếu thế thì thực ra theo tớ khoảng 3-5 người là đủ rồi, miễn là mọi người đều tham gia thảo luận. Chứ 10 người kiếm khó lắm, nếu mà học cái gì đó cao. 

 

Tớ vẫn thỉnh thoảng lên Facebook, cậu add tớ với. 

Add rồi nhé, cậu xem thế nào mở đầu phong trào đi. :D Tớ đợi rồi vào sau thôi.


Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: toán học lý thú

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh