Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chuyên mục quán hình học tháng 1 năm 2020


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Zeref

Zeref

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 461 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đồng Nai
  • Sở thích:...

Đã gửi 04-01-2020 - 10:42

Chuyên mục quán hình học tháng 1 năm 2020
 
Xin chào các bạn, chuyên mục Quán hình học đã trở lại với số tháng 1 năm 2020. Quán hình lần này sẽ đặc biệt hơn mọi lần: BBT sẽ có thêm thành viên mới, và một vài thành viên cũ vì lý do cá nhân nên không thể dành thời gian tiếp tục biên tập được. Đồng thời, Quán hình cũng sẽ có một số thay đổi về nội dung để phù hợp và đến được với nhiều bạn đọc hơn. Xin cảm ơn mọi người đã đồng hành cùng QH trong thời gian vừa qua.
 
Sau đây là link file: https://drive.google...uIWVBRiYJAdKs4M
 
BBT: Nguyễn Hoàng Nam, Nguyễn Duy Khương, Trần Quân, Nguyễn Đức Toàn, Đậu Văn Huy Hoàng, Phan Quang Trí.
Latex: Trần Quân, Đậu Văn Huy Hoàng.
Asy: Trần Quân, Đậu Văn Huy Hoàng.
 
Các bạn hãy nhiệt tình gửi lời giải vào topic này nhé, BBT sẽ tiếp nhận mọi lời giải và góp ý cho các bạn  ;)  ;)


#2 Eugeo Synthesis 32

Eugeo Synthesis 32

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:surviv io :) đi đu đưa đi :)

Đã gửi 04-01-2020 - 16:52

Bài 5:

$\widehat{BFA}=\widehat{A}=\widehat{AEC}=>BECF$ nội tiếp

$KB.KC=KT.KA=KE.KF=>\measuredangle KET=\measuredangle TAC =\measuredangle TBC=>EBKT$ nội tiếp

Do đó TKFC nội tiếp

Từ đề bài suy ra O là trực tâm $\Delta AEF$, hạ $FD,AL,EG$ là các đường cao của tam giác đó

Gọi $H$ là trực tâm $\Delta ABC; BN,CJ,AQ$ là các đường cao của tam giác đó

Từ điều trên thì $\Delta AEF\sim \Delta ACB$ có $H,O$ là các trực tâm

$=>\frac{AH}{AQ}=\frac{AO}{AL}=>\widehat{AHO}=\widehat{AQL}=\widehat{AKL}$ do $AQKL$ nội tiếp

Nên $\widehat{BCT}=\widehat{BAK}=\widehat{AKC}-\widehat{B}=\widehat{AKL}+\widehat{LKC}-\widehat{B}=\widehat{AHO}+\widehat{LKC}-\widehat{B}=\widehat{AHO}+\widehat{B}-\widehat{C}-\widehat{B}=\widehat{AHO}-\widehat{C}=\widehat{NHO}$

Gọi $I,M$ lần lượt là hình chiếu của $T-->BC,AC.$, $HO\cup AC={R}$

Thì $\widehat{AMI}=\widehat{ITC}=90^o-\widehat{BCT}=90^o-\widehat{NHO}=\widehat{ARH}=>HO//IM$

Nên đường thẳng $Steiner$ của $T$ đối với $\Delta ABC$ cũng song song với đường thẳng $Euler$ của $\Delta ABC$ mà lại đi qua $H$

$=>DPCM$

Hình vẽ:

Untitled1.png

Link: https://www.geogebra...lassic/knsfqqbz


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Eugeo Synthesis 32: 04-01-2020 - 16:54


#3 Eugeo Synthesis 32

Eugeo Synthesis 32

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:surviv io :) đi đu đưa đi :)

Đã gửi 24-01-2020 - 15:16

Bài 1:

Ta có : $AF=AE$ $=> \Delta JFA=\Delta JEA (ch-cgv)=> J \in AP ; JF=JE$

Gọi giao điểm thứ hai khác $N$ của $(R,RB) \cap EF = U$

Vì $PR=RM$ mà hạ $RR'$ vuông góc với $EF => R'N=R'U$ và $RR'$ vuông góc với $UN$

Nên $UNPM$ là hình thang vuông ( do hạ $MU'$ vuông góc $EF => NV'=V'U' => U'\equiv U$ )

$=> \widehat{NUM}=90^o$ 

Mà $EF \cap BC = V => VN.VU=VD.VM$

Mà $MB=MC => (V,D,B,C)=1$

Do $VNMP$ nội tiếp $=> \measuredangle MVP=\measuredangle MNP = 90^o-\measuredangle UNM=90^o-\measuredangle UDM => UD$ vuông góc với $VP = S$

Do đó gọi $G$ là điểm chính giữa cung $BAC$ của $(O)$ thì $JD$ đi qua $G$

$GS \cap AP = J' => PS.PV=PJ'.PN=PM.PG=PB^2=> PJ'.PN=PB^2=> \widehat{BJ'P}=\widehat{NBP} => \widehat{J'BA}=\widehat{NBD}$

Hạ $JF';JE'$ lần lượt vuông góc với $AB,AC$ $=> \Delta J'BF' \sim \Delta NBD (g-g),\Delta J'E'C\sim \Delta NDC (g-g)=> \frac{F'B}{BD}=\frac{J'F'}{ND}=\frac{J'E'}{ND}=\frac{E'C}{DC}=>\frac{F'B}{BD}=\frac{E'C}{DC}$

Áp dụng $Ceva$ đảo cho $\Delta ABC => AD,BE',CF'$ đồng quy

Do đó $E'F' \cap BC= V' => (V',D,B,C)=1=> V'\equiv V => EF,E'F',BC$ đồng quy

Mà $E'F' //EF$ ( do cùng vuông góc với $AP ) => E'F'\equiv EF$ $=> E'\equiv E,F'\equiv F$ $=> J' \equiv J$

Ta có :  $VY.YX=VB.VC=VN.VU=VD.VM => YDMX$ nội tiếp 

$AM \cap EF = T$

Dễ dàng chứng minh $\frac{AN}{AJ}=\frac{GM}{GP}$$=\frac{UM}{JP}=> \frac{JP}{JA}=\frac{MU}{AN}$

Ta có : $\frac{JU}{JG}=\frac{NJ}{JA};\frac{JG}{JD}=\frac{JP}{JN}=> \frac{JU}{JD}=\frac{JP}{JA}=\frac{MU}{AN}$$=>\frac{MU}{AN}=\frac{UJ}{JD}=\frac{TU}{TN}=>TJ//ND$

Mà $ND // MP => TJ // MP (1)$

Gọi $PY \cap BC = Y',PX \cap BC = X' => PY'.PY=PB^2=PC^2=PX.PX'=>YY'X'X$ nội tiếp

$=> \widehat{XPM}=\widehat{JPY}=> PM,PJ$ là hai đường đẳng giác trong $\Delta YPX$

Mà theo $(1)$ thì $TJ//MP$ nên đảo lại bài toán tính chất $8$ hai điểm liên hợp đẳng giác trong https://khuongworldo...-giac-va-2.html thì $M$ là điểm liên hợp đẳng giác đối với $J$ trong $\Delta PXY$

$=> \widehat{JYX}=\widehat{MYP}$

Mà $\Delta PMX' \sim \Delta PNY (g-g) => \Delta PX'N \sim \Delta PMY (c-g-c) => \widehat{MYP}=\widehat{PNX'}(=\widehat{DXP}) ($ do $NJX'X$ nội tiếp $)$

$=> \widehat{JYX}=\widehat{DXP}$

Gọi $Z = XP \cap (DXY) => \widehat{DXZ}=\widehat{DYZ}=\widehat{JYX}$$(2)$

Tương tự $Q = PY \cap (DXY) => \widehat{YXQ}=\widehat{DXJ} (3)$

Từ $(2),(3) => YZ,XQ$ cùng đi qua $K$

Gọi $H$ là trung điểm $NG$ $=> HO // NP => HO$ vuông góc với $XY => HY=HX (4)$

Vì $DNGM$ là hình thang vuông nên theo cmt thì $HD=HM$$(5)$

Từ $(4),(5) => H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $YDMX$

Dễ dàng chứng minh $QZ//BC$ có từ các điều trên

$QZ \cap XY = I$,$IP \cap (O) = W$

$PM \cap (DXY) = P'$ 

Vì $\widehat{DMP'}=90^o=> H$ là trung điểm $P'D$ mà $HN=HG=> NP'GD$ là hình bình hành 

$=> JG // NP'=> \widehat{NP'P}=\widehat{JGN}=\widehat{PNM}=> NP^2=PM.PP'=PQ.PY=> NP^2=PQ.PY=PZ.PX => \widehat{NPY}=\widehat{INQ}=\widehat{NZQ} => IN^2=IQ.IZ=IY.IX=IW.IP=> NW$ vuông góc với $IP$ => $\overline{WNHG}$$(6)$

Áp dụng định lý $Brocard$ cho tứ giác toàn phần $YQZX.IP$ thì suy ra $\overline{HKW} (7)$

Từ $(6),(7) => \overline{GNK} (Q.E.D)$

Hoàn tất chứng minh $\blacksquare$

Hình vẽ: Untitled.png

Link: https://www.geogebra...lassic/bdwr5jbk

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Eugeo Synthesis 32: 24-01-2020 - 15:17





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh