Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh nhị thức Newton

* * * * * 1 Bình chọn binomialtheorem

  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1
Hoang Huynh

Hoang Huynh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 64 Bài viết

${(a + b)^n} = \sum\limits_{p = o}^n {C_n^p.{a^p}.{b^{n - p}}} (*)$

 

 

$a: = 1;b: = x(*) \Rightarrow {(1 + x)^n} = \sum\limits_{p = o}^n {C_n^p.{x^p}} (\alpha )$

$n = 0(\alpha ) \Rightarrow 1 = 1.$                        ($\beta$)

$n = k(\alpha ) \Rightarrow {(1 + x)^k} = \sum\limits_{p = o}^k {C_k^p.{x^p}} $        ($\gamma$)

$n = k + 1 \Rightarrow {(1 + x)^{k + 1}} = \sum\limits_{p = o}^{k + 1} {C_{k + 1}^p.{x^p}} $

$ \Leftrightarrow (x + 1)\sum\limits_{p = o}^k {C_k^p.{x^p}}  = \sum\limits_{p = o}^{k + 1} {C_{k + 1}^p.{x^p}} $

$ \Leftrightarrow \sum\limits_{p = o}^k {\left( {C_k^p.{x^p}} \right)}  + x\sum\limits_{p = o}^k {\left( {C_k^p.{x^p}} \right)}  = \sum\limits_{p = o}^{k + 1} {\left( {C_k^p.{x^p} + C_k^{p - 1}.{x^p}} \right)} $

$ \Leftrightarrow \sum\limits_{p = o}^k {\left( {C_k^p.{x^p}} \right)}  + x\sum\limits_{p = o}^k {\left( {C_k^p.{x^p}} \right)}  = \sum\limits_{p = o}^k {\left( {C_k^p.{x^p}} \right)}  + \sum\limits_{p = 1}^{k + 1} {\left( {C_k^{p - 1}.{x^p}} \right)} $

$ \Leftrightarrow x\sum\limits_{p = o}^k {\left( {C_k^p.{x^p}} \right)}  = \sum\limits_{p = 1}^{k + 1} {\left( {C_k^{p - 1}.{x^p}} \right)} $

$ \Leftrightarrow \sum\limits_{p = o}^k {\left( {C_k^p.{x^{p + 1}}} \right)}  = \sum\limits_{p = 1}^{k + 1} {\left( {C_k^{p - 1}.{x^p}} \right)} $

$ \Leftrightarrow C_k^0.{x^1} + C_k^1.{x^2}... + C_k^k.{x^{(k + 1)}} = C_k^0.{x^1} + C_k^1.{x^2}... + C_k^k.{x^{(k + 1)}}$

$ \Leftrightarrow (C_k^0.{x^1} - C_k^0.{x^1}) + (C_k^1.{x^2} - C_k^1.{x^2})... + (C_k^k.{x^{(k + 1)}} - C_k^k.{x^{(k + 1)}}) = 0$

$ \Leftrightarrow 0 = 0$                                    ($\zeta$)

$\because (\alpha ) \wedge (\beta ) \wedge (\gamma ) \wedge (\zeta )\therefore {(a + b)^n} = \sum\limits_{p = o}^n {C_n^p.{a^p}.{b^{n - p}}} $(Q.E.D.)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huynh: 21-09-2021 - 20:30





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh