Bài toán: Cho dãy số thực $(a_n)_n$ được xác định như sau
$$a_1=\frac{5}{3}\,\,,\,\,a_{n+1}=\frac{1}{4-3a_n}\,\,,\,\,\forall n\geq 1$$
Khẳng định hay phủ định $(a_n)_n$ là dãy hội tụ ? Chứng minh nhận định trên.
Bài toán: Cho dãy số thực $(a_n)_n$ được xác định như sau
$$a_1=\frac{5}{3}\,\,,\,\,a_{n+1}=\frac{1}{4-3a_n}\,\,,\,\,\forall n\geq 1$$
Khẳng định hay phủ định $(a_n)_n$ là dãy hội tụ ? Chứng minh nhận định trên.
Xét hàm $f(t)= \frac{1}{4-3t} \Rightarrow f'(t)=\frac{3}{(4-3t)^2}\geq 0, \forall t\in\mathbb R$
Suy ra $f$ đồng biến trên $\mathbb R$, từ đó quy nạp ta được $(a_n)$ là dãy tăng với mọi $n\geq 2$
Chứng minh quy nạp được $a_n\leq \frac 13$, $\forall n\geq 2$
Do đó $(a_n)$ là dãy hội tụ với mọi $n\geq 2$.
Đưa về bài toán tìm lim ta được $L=\frac 13$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcoVietnam02: 23-09-2021 - 14:35
Suy ra $f$ đồng biến trên $\mathbb R$, từ đó quy nạp ta được $(a_n)$ là dãy tăng với mọi $n\geq 2$
Chứng minh quy nạp được $a_n\leq \frac 13$, $\forall n\geq 2$
Dãy $(a_n)$ tăng thì sao mà $a_2 \le \frac{1}{3}$ trong khi $a_2 \ge a_1 = \frac{5}{3}$ ?
Dãy $(a_n)$ tăng thì sao mà $a_2 \le \frac{1}{3}$ trong khi $a_2 \ge a_1 = \frac{5}{3}$ ?
Dạ em có ghi tăng với mọi $n\geq 2$ á anh.
Dạ em có ghi tăng với mọi $n\geq 2$ á anh.
Xin lỗi, anh quên đọc điều kiện. Nhưng kết luận của em là sai rồi. Định nghĩa của hội tụ không yêu cầu $n \ge 1$ gì cả. Chỉ cần là với mọi $\varepsilon > 0$, thì từ một chỉ số $N$ nào đó $|x_n - L| \le \varepsilon$.
Xin lỗi, anh quên đọc điều kiện. Nhưng kết luận của em là sai rồi. Định nghĩa của hội tụ không yêu cầu $n \ge 1$ gì cả. Chỉ cần là với mọi $\varepsilon > 0$, thì từ một chỉ số $N$ nào đó $|x_n - L| \le \varepsilon$.
Dạ tại em chưa có quen trường hợp đó nên lúc đó thằng $a_1$ em chỉ nghĩ là nó lớn hơn lim nên em làm vậy chứ định nghĩa em chưa để ý
Dạ tại em chưa có quen trường hợp đó nên lúc đó thằng $a_1$ em chỉ nghĩ là nó lớn hơn lim nên em làm vậy chứ định nghĩa em chưa để ý
Tuy nhiên $a_1=\frac 53 >L$ nên dãy $(a_n)$ không hội tụ trên $n\geq 1$
Em bỏ dòng kết luận cuối này đi là đẹp, vì thực chất phần trên đã đúng.
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh