Chủ đề này có 1 trả lời

[lmtrtan123334]

cho 2 đường thẳng d1: mx + (m-1)y - 2m +1= 0 và d2: (1- m)x + my - 4m + 1 =0.

b. CMR d1;d2 luôn cắt tại 1 điểm cố định là I. khi m thay đổi thì I chạy trên đường nào.

c. tim GTLN của diện tích tam giác IAB với A;B là các điểm cố định mà d1;d2 đi qua.

 

Cho 2 đường thẳng $d_1: mx + (m-1)y - 2m +1= 0$ và $d_2: (1- m)x + my - 4m + 1 =0.$

b) CMR $d_1$; $d_2$ luôn cắt tại 1 điểm cố định là $I$. Khi $m$ thay đổi thì $I$ chạy trên đường nào.

c) Tìm GTLN của diện tích tam giác $IAB$ với $A$; $B$ là các điểm cố định mà $d_1$; $d_2$ đi qua.

 

 

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 01-08-2023 - 09:10

[E. Galois]

Cho 2 đường thẳng $d_1: mx + (m-1)y - 2m +1= 0$ và $d_2: (1- m)x + my - 4m + 1 =0.$

b) Chứng minh $d_1$; $d_2$ luôn cắt tại 1 điểm cố định là $I$. Khi $m$ thay đổi thì $I$ chạy trên đường nào.

c) Tìm GTLN của diện tích tam giác $IAB$ với $A$; $B$ là các điểm cố định mà $d_1$; $d_2$ đi qua.

 

Ta chỉ ra các điểm cố định của $d_1, d_2$. Với $d_1$, ta có:

$$ mx + (m-1)y - 2m +1= 0, \quad \forall m \Leftrightarrow  m(x+y-2)-y+1=0, \quad  \forall m \Leftrightarrow \begin{cases} x+y-2=0 \\ -y+1=0 \end{cases} \Leftrightarrow  x=y=1$$

Vậy điểm cố định của $d_1$ là $A(1;1)$.

$$(1- m)x + my - 4m + 1 =0, \quad \forall m \Leftrightarrow  x + 1 +m(y-x-4)=0, \quad  \forall m \Leftrightarrow \begin{cases} x+1=0 \\ y-x-4=0 \end{cases} \Leftrightarrow  \begin{cases} x=-1 \\ y=3 \end{cases}$$

Vậy điểm cố định của $d_2$ là $B(-1;3)$.

Dễ thấy 

$$m(1-m) + (m-1)m = 0, \quad \forall m$$

Do đó $d_1 \perp d_2$. 

Vậy giao điểm $I$ của $d_1,d_2$ là điểm luôn nhìn $AB$ dưới 1 góc vuông. Do đó khi $m$ thay đổi, $I$ chạy trên đường tròn đường kính $AB$.

 

Diện tích tam giác $IAB$ lớn nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ $I$ đến $AB$ lớn nhất, khi đó $IAB$ là tam giác vuông cân. Tìm được $I(-1;1)$ hoặc $I(1;3)$