**Lưu ý rằng đây là bài đạo hàm mở đầu, bạn nào đã hiểu bản chất; xin bỏ qua.
Tôi xin diễn giải nghịch lý mũi tên của Zeno:" Độ lớn vận tốc của một mũi tên là quãng đường đi được trong một khoảng thời gian tương ứng; nhưng khi ta xét thời gian tại một thời điểm thì độ biến thiên thời gian bằng 0, độ biến thiên quãng đường cũng bằng 0, suy ra tốc độ bằng $\frac{0}{0}$. Kết luận rằng mọi chuyển động chỉ là ảo giác.".
Phát biểu đầy đủ của Zeno còn bao hàm không gian, thời gian,v.v.. nhưng ở đây, ta chỉ bác bỏ quan điểm về "độ lớn vận tốc" cuả Zeno bằng lý thuyết đạo hàm.
Cho hàm đường thẳng $y = ax + b$;
${x_1} = p \Rightarrow {y_1} = pa + b;$
${x_2} = p + n \Rightarrow {y_2} = pa + na + b;$
$ \Rightarrow \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = a.$
Vậy y thay đổi giá trị nhanh hay chậm phụ thuộc vào hệ số góc a, từ nay gọi là "độ dốc".
$\to$ Tiến hành khảo sát độ dốc, tức là "tốc độ biến thiên" của các hàm có đồ thị là các đường cong.
Khảo sát độ dốc tại điểm $(x;f(x))$ .Cho điểm$(x + h;f(x + h))$; độ dốc của đường các tuyến qua hai điểm trên là độ dốc trung bình qua hai điểm. Khi $h$ $\to$ 0, điểm $(x + h;f(x + h))$ $ \to $ $(x;f(x))$ nên cát tuyến (đường cắt đường cong qua hai điểm) tiến tới gần đường tiếp tuyến (chỉ chạm đường cong tại $(x;f(x))$ ) .Đường tiếp tuyến không cắt hai điểm của đường cong nên độ dốc của đường không phải độ dốc trung bình mà chính là độ dốc tức thời tại $(x;f(x))$. ($\alpha$)
đỏ: đường cong của đồ thị hàm $f(x)$
xanh: đường cát tuyến
tím: một đường tiếp tuyến
Độ dốc đường cát tuyến ${a_c} = \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h}$ ($\beta$)
Đặt $f'(x)$ là độ dốc của $f(x)$ tại $x$;
${\because (\alpha ) \wedge (\beta )\therefore f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h}.}$
$\to$ Đặt đường tiếp tuyến tại ${x_0}$ thuộc đồ thị hàm $f(x)$ :$(d): y = f'({x_0}).x + b$
(d) qua $(x;f(x))$ nên $(d): y= f'({x_0})(x - {x_0}) + f({x_0})$ (dễ dàng chứng minh).
Quay trở lại nghịch lý mũi tên, cho $f(x)$ là hàm quãng đường theo thời gian x, thì $f'(x)$ là "tốc độ biến thiên quãng đường tức thời", nếu thế $h=0$ thì giới hạn trên có dạng $\frac{0}{{0}}$ như ý tưởng Zeno.
(Định nghĩa đạo hàm: "tốc độ biến thiên", "độ dốc", "hệ số góc của đường tiếp tuyến".)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huynh: 28-09-2021 - 07:31