Bài toán: Cho $H$ là một nhóm con của nhóm $G$. Chứng minh rằng $G\setminus H$ hữu hạn khi và chỉ khi $G$ hữu hạn hoặc $H=G$
$G\setminus H$ hữu hạn
#1
Đã gửi 27-09-2021 - 22:59
#2
Đã gửi 28-09-2021 - 15:25
Bài toán: Cho $H$ là một nhóm con của nhóm $G$. Chứng minh rằng $G\setminus H$ hữu hạn khi và chỉ khi $G$ hữu hạn hoặc $H=G$
Xét hai trường hợp:
-$H$ vô hạn: Giả sử $H\neq G$ thì $G\setminus H\neq \varnothing$, lấy phần tử $x\in G\setminus H$, xét coset $xH$, ta có $card(xH)=card(H)$ ($card(H)$ là lực lượng của tập hợp $H$), $xH\cap H=\varnothing$ (vì $x\notin H$), do đó $xH$ vô hạn và $xH\subset G\setminus H$ (vô lý vì $G\setminus H$ hữu hạn). Vậy $G=H$.
-$H$ hữu hạn: Vì $G=(G\setminus H)\cup H$ và $G\setminus H,H$ đều hữu hạn nên $G$ hữu hạn.
Từ cả hai trường hợp ta có đpcm.
(có lẽ nên ghi rõ $G\setminus H$ là gì để phân biệt với $G/H$ kẻo người đọc nhầm lẫn).
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi poset: 28-09-2021 - 15:32
- phuc_90 và DOTOANNANG thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh