Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh các vành $\mathbb{Z}[i]$ và $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ đều là vành nhân tử hóa.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Lemonjuice

Lemonjuice

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 118 Bài viết

Chứng minh các vành $\mathbb{Z}[i]$ và $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ đều là vành nhân tử hóa bằng cách sơ cấp ( cấp 3)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lemonjuice: 30-09-2021 - 08:28


#2
poset

poset

    Trung sĩ

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 125 Bài viết

Chứng minh các vành $\mathbb{Z}[i]$ và $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ đều là vành nhân tử hóa.

Đầu tiên ta cần biết chứng minh định lý cơ bản của số học: http://songha.maths....ban-cua-so-hoc/
Cái tính chất quan trọng nhất để làm cơ sở cho chứng minh này là: Cho hai số nguyên dương $a,b$, khi đó tồn tại hai số tự nhiên $q,r$ sao cho $a=bq+r,r< b$ (tự kiểm chứng)
Mở rộng cho số nguyên thì: Cho hai số nguyên $a,b;b\neq 0$, khi đó tồn tại hai số nguyên $q,r$ sao cho $a=bq+r, \left | r \right |<\left | b \right |$, có thể làm mạnh hơn với điều kiện $\left | r \right |\leq \frac{\left | b \right |}{2}$ (*)
Ta chỉ cần chứng minh tính chất (yếu hơn) này cho hai vành trên, rồi làm theo cái chứng minh trên là được, mình sẽ không ghi ra vì nó dài@@ lưu ý $\left | z \right |$ giờ là module của số phức $z$ (thực ra nó cũng là giá trị tuyệt đối với số thực). Cần lưu ý nữa là $\left | z \right |$ là số nguyên dương với $z$ thuộc một trong hai vành trên (sẽ sử dụng tính chất: cho một tập con khác rỗng của tập các số tự nhiên, tồn tại số nhỏ nhất)
Trong mỗi vành, thay $i$ hay $\sqrt{-2}$ bởi $\gamma$, xét hai số $a,b\in \mathbb{Z}\left [ \gamma \right ],b\neq 0$. Ta có:
$\frac{a}{b}=\frac{a\bar{b}}{\left | b \right |}=\frac{c+d\gamma }{\left | b \right |},c,d\in \mathbb{Z}$
Áp dụng (*), $\exists c_1,c_2,d_1,d_2\in \mathbb{Z},c=c_1\left | b \right |+c_2,d=d_1\left | b \right |+d_2;\left | c_2 \right |,\left | d_2 \right |\leq \frac{\left | b \right |}{2}$
Đặt $q=c_1+d_1\gamma \in \mathbb{Z}\left [ \gamma \right ],r=\frac{(c_2+d_2\gamma)b }{\left | b \right |}$, khi đó ta có:
$a=bq+r\Rightarrow r=a-bq\in \mathbb{Z}\left [ \gamma \right ],\left | r \right |=\frac{c_2^2+\left | \gamma \right |d_2^2}{\left | b \right |}\leq \frac{(\frac{\left | b \right |}{2})^2+\left | \gamma \right |( \frac{\left | b \right |}{2})^2}{\left | b \right |}=\frac{\left | \gamma \right |+1}{4}\left | b \right |<\left | b \right |$ trong cả hai trường hợp của $\gamma$. Vậy ta đã có tính chất như mong muốn
(Có thể làm tương tự với $\gamma =\frac{\sqrt{-3}+1}{2},\gamma =\frac{\sqrt{-7}+1}{2}$)


 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi poset: 01-10-2021 - 10:17





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh