Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Bắt đầu với $(\infty,1)$-phạm trù

phạm trù mô hình phạm trù bậc cao

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1558 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Geometry and Topology

Đã gửi 15-01-2020 - 10:03

Trong dãy bài viết này mình muốn trình bày và tiếp cận phạm trù bậc cao, chủ yếu là $(\infty,1)$-phạm trù và lý thuyết đồng luân của chúng. Ở bài viết đầu tiên, mình bắt đầu lại với định nghĩa cổ điển như phạm trù tensor,làm đầy pham trù và không gian metric.

Prerequisite cho bài viết này là một chút topo đại số và phạm trù cơ bản.

Phạm trù tensor (hoặc phạm trù monoidal)

Phạm trù tensor, nói một cách cơ bản là trang bị một tích tensor thỏa mãn một vài luật cụ thể; nhưng cần hiểu nó hình thức hóa lại một số phạm trù như $\mathbb{Sets}$ hay $\mathrm{Mod}_R$ trong đó $R$ là vành giao hoán có đơn vị mà ở đó tích Cartersian và tích tensor đóng vai trò "tích tensor" trong phạm trù này.

Định nghĩa: Một phạm trù tensor $\mathcal{C}$ là một phạm trù được trang bị một tích tensor $\otimes: \mathcal{C} \times \mathcal{C} \to \mathcal{C}$ (ở đây để cho đơn giản ta luôn hiểu tích tensor này lấy trên các vật của $\mathcal{C}$ - mà không viết $\mathrm{Obj}(\mathcal{C})$) trong đó với hai vật $x,y$ ta nhận được một vật kí hiệu là $x \otimes y$ cùng với:

  • Một vật đơn vị $I$.
  • Với mọi bộ ba vật $x,y,z$ tồn tại một đẳng cấu kết hợp $a_{x,y,z}: (x \otimes y) \otimes z \to x \otimes (y \otimes z)$ tự nhiên theo cả ba biến $x,y,z$.
  • Với mọi vật $x$ tồn tại một đẳng cấu trái và một đẳng cấu phải $l_x: I \otimes x \to x, r_x: x \otimes I \to x$ tự nhiên theo $x$.
  • Với mọi bộ bốn vật $x,y,z,w$ ta có:

$$(id_{w} \otimes a_{x,y,z}) \circ a_{w, x \otimes y, w} \circ (a_{w,x,y} \otimes id_{z}) = a_{w,x,y \otimes z} \circ a_{w \otimes x,y,z}$$

  • Với hai vật $x,y$ bất kì ta có:

$$(id_x \otimes l_y) \circ a_{x,I,y} = r_x \otimes id_y$$

Ngoài ta cũng có thể định nghĩa phạm trù mô hinh đối xứng, nhưng điều đó chưa thật quan trọng lúc này.

Phạm trù làm đầy (enriched category)

Trong rất nhiều tình huống, tập $\mathrm{Hom}$ giữa các vật trong một phạm trù có thể trang bị một cấu trúc nào đó, vì lý do đó ta có thể nghĩ tới ý tưởng mở rộng $\mathrm{Hom}$ thành vật trong một phạm trù nào đó tức là biến hom-sets $\mathrm{Hom}(\square,\square)$ thành hom-objects trong một phạm trù mới. Phạm trù mới này phải là phạm trù tensor vì như vậy ta mới có phép hợp thành
$$\mathrm{Hom}(x,y) \otimes \mathrm{Hom}(y,z) \to \mathrm{Hom}(x,z)$$
Định nghĩa: Cho $(C,\otimes, I)$ là một phạm trù tensor. Một phạm trù $\mathcal{D}$ được gọi là làm đầy trên $\mathcal{C}$ nếu:

  • Có một lớp nhỏ hơn các vật trong $\mathcal{D}$, kí hiệu $\mathrm{ob}(\mathcal{D})$ mà ta sẽ làm đầy quanh các vật này.
  • Với mọi cặp vật $x,y \in \mathrm{ob}(\mathcal{D})$ tồn tại một vật $\mathrm{Hom}(x,y) \in \mathcal{C}$ (đây là vật chứ không phải hom-sets).
  • Với mọi bộ ba vật $x,y,z \in \mathrm{ob}(\mathcal{D})$ tồn tại một phép hợp thành

$$c_{x,y,z}: \mathrm{Hom}(x,y) \otimes \mathrm{Hom}(y,z) \to \mathrm{Hom}(x,z)$$
Với mọi vật $x \in \mathrm{ob}(\mathcal{D})$ tồn tại một cấu xa đơn vị $\eta_x: I \to \mathrm{Hom}(x,x)$ thỏa mãn các luật:

  • (Giao hoán) Với mọi bộ ba vật $x,y,w$:

$$\begin{cases} c_{x,x,y} \circ (\eta_x \otimes id_{\mathrm{Hom}(x,y)})= l_{\mathrm{Hom}(x,y)} \\ c_{w,x,x} \circ (id_{\mathrm{Hom}(w,x)} \otimes \eta_x) = r_{\mathrm{Hom}(x,y)} \end{cases}$$

  • (Kết hợp) Với mọi bộ bốn vật $x,y,z,w$:

$$c_{w,y,z} \circ (c_{w,x,y} \otimes id_{\mathrm{Hom}(y,z)}) = c_{w,x,z} \circ (id_{\mathrm{Hom}(w,x)} \otimes c_{x,y,z})$$
Ví dụ:

  • Các phạm trù nhỏ địa phương - (locally small categories) là các phạm trù mà hom-set chỉ là một tập hợp (set) chứ không phải là lớp (proper class). Chúng được làm đầy từ $(\mathbb{Sets},\times, \left \{ \cdot \right \})$.
  • $2$-phạm trù làm đầy từ $\mathbb{Cat}$ - phạm trù của các phạm trù nhỏ với cấu xạ là các hàm tử.

Không gian metric

Trước khi đi tới định nghĩa tiếp theo ta nhắc lại rằng mọi poset (partially ordered set: tập sắp thứ tự bộ phận) đều là một phạm trù gầy, tức là với mọi cặp vật $x,y$ thì có một cấu xạ $x \to y \Leftrightarrow x \leq y$. Tuy nhiên ta cũng có thể định nghĩa $x \to y \Leftrightarrow x \geq y$. Do đó ta kết thúc phần này bằng định nghĩa:

Định nghĩa: Một không gian giả metric là một phạm trù làm đầy từ poset $([0,+\infty],\geq)$ trong đó tensor $\otimes$ là phép cộng $+$ và phần tử đơn vị $I$ là $0$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 15-01-2020 - 17:58

Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#2 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1558 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Geometry and Topology

Đã gửi 15-01-2020 - 11:17

Trong phần này, ta bắt đầu với phạm trù mô hình để ở phần sau sẽ giới thiệu về tập đơn hình (simplicial set) và cặp tương đương Quillen nổi tiếng giữa hai phạm trù mô hình $\mathbb{Sets}$ và $\mathbb{Tops}$. 

 

Để bắt đầu với phạm trù mô hình, ta cần hiểu một chút về lý thuyết đồng luân. Trước tiên làm lý thuyết đồng luân tức là nghịch đảo một số cấu xạ trong một phạm trù hợp lý mà ta mong muốn, ví dụ từ định nghĩa hai không gian đồng luân thì một đồng luân giữa chúng (nếu có) luôn nghịch đảo được. Ngoài ra ta cần lưu ý hai lớp cấu xạ yếu hơn sau

  • Một ánh xạ liên tục giữa hai không gian topo $f: X \to Y$ được gọi là đồng luân yếu nếu nó cảm sinh đẳng cấu trên tất cả các nhóm đồng luân $f_{*,n}: \pi_n(X) \to \pi_n(Y)$. Như điểm quan trọng là đồng luân yếu chưa chắc là đồng luân.
  • Trong phạm trù các xích phức (chain complexes) với các thành phần là $R$-module và cấu xạ là các đồng luân xích (chain homotopy) ta có thể định nghĩa tựa đẳng cấu (quasi-isomorphism) nếu nó cảm sinh đẳng cấu trên các nhóm đồng điều.

Ý tưởng cơ bản nhất của việc nghịch đảo cấu xạ là khái niệm địa phương hóa.

 

Địa phương hóa phạm trù

 

Định nghĩa: Xét một phạm trù nhỏ (small category) $\mathcal{C}$ và một tập hợp các cấu xạ $M$ khi đó địa phương hóa của $\mathcal{C}$ tại $M$, kí hiệu $\mathcal{C}[M^{-1}]$ là một phạm trù trang bị một hàm tử $q: \mathcal{C} \to \mathcal{C}[M^{-1}]$ thỏa mãn:

  • Với mọi $m \in M$ thì $q(m)$ là một đẳng cấu.
  • Với mọi hàm tử $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ sao cho $F(m)$ là đẳng cấu với mọi $m \in M$ tồn tại duy nhất một hàm tử nâng $S_M: \mathcal{C}[M^{-1}] \to \mathcal{D}$ thỏa mãn $S_M \circ q \cong S$.
  • Phép hợp thành $(\square) \circ q: \mathcal{D}^{\mathcal{C}[M^{-1}]} \to \mathcal{D}^{\mathcal{C}}$ là một hàm tử đầy đủ trung thành.

Ví dụ:

  • Một groupoid là một địa phương hóa tại tất cả các cấu xạ trong một phạm trù nào đó. Một nhóm là một groupoid gồm chỉ một vật, ở đây nổi tiếng nhất phải kể tới groupoid cơ bản (fundamental groupoid).
  • Trong phạm trù nhóm $\mathbb{Grps}$ xét các lớp cấu xạ $M:\left \{A \to B \mid A/[A,A] \cong B/[B,B] \right \}$ khi đó địa phương hóa $\mathbb{Grps}[M^{-1}] = \mathbb{Ab}$ là phạm trù các nhóm abel.
  • Trong phạm trù các không gian topo $\mathbb{Tops}$ xét các lớp cấu xạ đồng luân và đồng luân yếu, địa phương hóa ta được các phạm trù đồng luân $\mathbb{Tops}[H^{-1}], \mathbb{Tops}[W^{-1}]$. Ta kí hiệu $\mathrm{Ho}(\mathbb{Tops}) = \mathbb{Tops}[W^{-1}]$ - thường được biết với cái tên phạm trù đồng luân.

Nhưng trong đa số trường hợp thì hom-sets của phạm trù địa phương hóa là quá lớn, trở thành một lớp (proper class) chứ không phải là một tập hợp. Một trong các cách chỉnh sửa vấn đề này là sử dụng phạm trù mô hình - có động lực từ lý thuyết đồng luân.

 

Nếu ta chỉ địa phương hóa lớp $W$ thậm chí sửa vấn đề set-theoretic bằng cách lấy lớp các đồng luân giữa chúng thì vẫn chưa đủ, do cách làm này không phải một bất biến đồng luân. Hình thức hơn, có những đồng luân yếu $Z \to X$ không cảm sinh đẳng cấu $[X,Y] \to [Z,Y]$ và nếu ta không xem xét sự khác nhau giữa các không gian đồng luân yếu, ta sẽ gặp vấn đề như những không gian đồng luân yếu có thể không đồng luân; nói như vậy tức là ta bỏ qua vai trò lớp $H$ - vốn đóng một vai trò quan trọng cốt lõi trong thực hành. Tuy nhiên có một cách sửa vấn đề rất tốt, thanks Whitehead - father of CW-complexes theory

 

Định lý (Whitehead) Một đồng luân yếu giữa hai CW-phức là một đồng luân.

 

Định lý (xấp xỉ CW) Với mọi không gian topo $X$ tồn tại một CW-phức $X^{cw}$ và một đồng luân yếu $X^{cw} \to X$.

 

Định nghĩa: Phạm trù đồng luân $\mathrm{Ho}(\mathbb{Tops})$ có vật là các không gian topo và các cấu xạ:

$$\mathrm{Hom}_{\mathrm{Ho}(\mathbb{Tops})}(X,Y) = [X^{cw},Y^{cw}]$$

 

Vấn đề ở đây là phạm trù $\mathbb{Tops}$ có cấu trúc đủ tốt nhưng làm sao ta định nghĩa đồng luân yếu và làm lý thuyết đồng luân trên các phạm trù khác. Cần lưu ý rằng hầu hết các cấu trúc này thể hiện qua các fibration và cofibration theo nghĩa topo.

 

Phạm trù mô hình

 

Phạm trù mô hình được đề xuất bởi Quillen, là một cách tiên đề hóa phạm trù và cho ta một phạm trù đồng luân giống như cách ta làm với phạm trù các không gian topo. Ví dụ trong phạm trù các xích phức $\mathrm{Ch}_{\geq 0}(R)$ thì đại số đồng điều có thể hiểu là lý thuyết đồng luân.

 

Định nghĩa: Một phạm trù mô hình $M$ là một phạm trù đã chọn ba lớp các cấu xạ đồng luân yếu, fibration, cofibration. Một cấu xạ vừa là đồng luân yếu vừa là (co)fibration được gọi là acyclic (co)fibration. Chúng phải thỏa mãn năm tiên đề:

  • (MC1) $\mathcal{M}$ có mọi giới hạn nhỏ và đối giới hạn nhỏ.
  • (MC2) Nếu $f,g$ là hai cấu xạ và $gf$ định nghĩa được khi đó nếu hai trong ba cấu xạ này là đồng luân yếu thì cấu xa còn lại cũng là đồng luân yếu.
  • (MC3) Nếu $f: A \to A'$ là co rút của $g: B \to B'$ (tức là tồn tại $i: A \to B, j: A' \to B', r: B \to A, s: B' \to A'$ sao cho $j \circ f = g \circ i, f \circ r = s \circ g$) thì $g$ thuộc lớp nào sẽ kéo theo $f$ thuộc lớp đó.
  • (MC4) Cofibration tính nâng đồng luân trái với acyclic fibration và fibration có tính nâng đồng luân trái với acyclic cofibration.
  • (MC5) Mọi cấu xạ $g$ phân tích được thành $g=qi = pj$ trong đó $i$ là cofibration, $q$ là acyclic fibration, $p$ là fibration và $j$ là acyclic cofibration.

Lưu ý. Ở đây đồng luân yếu đóng vai trò đồng luân, fibration là toàn cấu đủ tốt và cofibration là nhúng đủ tốt.

 

Hai mô hình quan trọng là mô hình xạ ảnh và mô hình nội xạ:

 

Ví dụ:

  • Trong phạm trù $\mathrm{Ch}(R)$ là phạm trù các xích phức không bị chặn, ta định nghĩa đồng luân yếu là các tựa đẳng cấu, cofibration là các đơn cấu tại từng bậc với hạt nhân là vật xạ ảnh, fibration là các toàn cấu tại từng bậc - mô hình này được biết tới là mô hình xạ ảnh và ta cũng có thể định nghĩa mô hình nội xạ.
  • Phạm trù $\mathbb{Tops}$ là phạm trù mô hình với đồng luân yếu lấy theo nghĩa thông thường, fibration là Serre fibration (weak fibration) và cofibration (không phải theo nghĩa topo) là các cấu xạ có tính nâng đồng luân trái với các acyclic Serre fibration.
  • Ta cũng có thể lấy một mô hình khác trong $\mathbb{Tops}$ trong đó đồng luân yếu là đồng luân, fibration là strong fibration - nâng đồng luân trái với mọi cấu xạ, cofibration là cofibration theo nghĩa topo.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 15-01-2020 - 11:21

Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#3 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1558 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Geometry and Topology

Đã gửi 15-01-2020 - 17:33

Trong bài viết này, mình đề cập tới tập đơn hình (simplicial set), đóng một vai trò như các mô hình tổ hợp cho các không gian trong topo đại số. Thậm chí ta có định nghĩa cả nhóm đồng luân theo nghĩa này. Có một tài liệu giới thiệu cơ bản về tập đơn hình của Greg Friedman tại đây, trong đó ông ta giải thích và sử dụng hình vẽ rất nhiều. Tuy nhiên như đã nói, ai có background topo đại số thì không cần cái này. Mình sẽ chia bài viết này thành hai phần, ban đầu đi vào các kiến thức chung của tập đơn hình và các định lý cổ điển liên quan (nếu đủ sức gõ):

  • Phức Kan và horn Kan complex.
  • Đồng luân của tập đơn hình, định lý tương ứng Dold-Kan.
  • Hình học hóa của phạm trù nhỏ và các định lý Quillen A & B.

 

Tập đơn hình

 

Kí hiệu $[n] = \left \{0 \leq 1 \leq ... \leq n \right \}$ là tập $n$ số tự nhiên đầu tiên, xét phạm trù nhỏ $\Delta$ gồm các vật là $[n]$ và cấu xạ là các ánh xạ bảo toàn thứ tự yếu (tức là bảo toàn thứ tự và có thể không phải đơn cấu).

 

Định nghĩa: Một tập đơn hình là một hàm tử thuận biến $F: \Delta^{op} \to \mathbb{Sets}$. Nói cách khác, đây có thể gọi là một tiền bó tập hợp.

 

Lưu ý. Một cách định nghĩa khác sử dụng ánh xạ mặt (face) và ánh xạ suy biến (degenacy map), xem nLab.

 

Kí hiệu phạm trù các tập đơn hình là $\mathbb{SimSets}$ và các tập đơn hình chính tắc $n$-chiều $\Delta^n = \mathrm{Hom}_{\Delta}(\square,[n])$.

 

Ta biết rằng mọi tiền bó (presheaf) tập hợp đều có biểu diễn chính tắc thành một đối giới hạn (colimit) của các hàm tử khả diễn (representable functors) (colimit) trong một phạm trù nào đó (cụ thể, comma category). Thật vậy xét $\mathcal{C}$ là một phạm trù nhỏ và $F \in \mathbb{Sets}^{\mathcal{C}^{op}}$. Kí hiệu $h_X = \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(\square,X)$ với mỗi vật $X$ trong $\mathcal{C}$. Xét phạm trù $\mathcal{D}$ với các vật là các cấu xạ $g_X: h_X \to F$ và cấu xạ $f: h_X \to h_Y$ sao cho nó giao hoán biểu đồ tam giác $g_Y \circ f = g_X$. Như vậy ta có một hàm tử:

$$\phi: \mathcal{D} \longrightarrow \mathbb{Sets}^{\mathcal{C}^{op}}$$

$$g_X \longmapsto h_X$$

Hàm tử này cảm sinh một giới cấu xạ

$$\underset{\mathcal{D}}{\mathrm{colim}} \phi(f) \to F, f \in \mathcal{D}$$

và có thể chứng minh nó là đẳng cấu. Xem thêm tại nLab.

 

Trong trường hợp $\mathcal{C} = \Delta$ và bằng cách lạm dụng kí hiệu ta có:

$$F \cong \underset{\Delta^n \to F}{\mathrm{colim}} \Delta^n$$

Tiếp theo ta sẽ định nghĩa hình học hóa của một tập hình, $\left | F \right |$. Để định nghĩa được nó trước tiên ta sẽ định nghĩa cho các tập đơn hình chuẩn tắc:

$$\left | \Delta^n \right | = \left \{ (x_0,\cdots, x_n) \in \mathbb{R}^{n+1} \mid x_i \in [0,1] \ \forall 0 \leq i \leq n, \sum_{i=0}^n x_i = 1 \right \}$$

 

Định nghĩa: Hình học hóa của một tập đơn hình $F$ được cho bởi công thức $\left | F \right |:= \underset{\Delta^n \to F}{\mathrm{colim}} \left | \Delta^n \right |$.

 

Ví dụ: Với mỗi không gian topo $X$ ta có thể xét tập đơn hình $\mathrm{Sing}(X): \Delta^{op} \to \mathbb{Sets}$ trong đó $\mathrm{Sing}(X)([n]) = C_n(X) = \left \{f: \left | \Delta^n \right | \to X \mid f \ \text{liên tục} \right \}$. Nó đóng vai trò quan trọng trong định lý sau:

 

Định lý: Cặp hàm tử $(\left | \square \right |, \mathrm{Sing})$ là một cặp hàm tử liên hợp $\left | \square \right|: \mathbb{Sets}^{\Delta^{op}} \leftrightarrows \mathbb{Tops}: \mathrm{Sing}$.

 

Chứng minh. [Julia E.Bergner, The Homotopy Theory of $(\infty,1)$-categories, London Mathematical Society Student, p.$38$ - Simplicial Objects].

 

Lưu ý. Về sau ta sẽ biết $\mathbb{Tops}, \mathbb{Sets}^{\Delta^{op}}$ là hai phạm trù mô hình và cặp liên hợp trên gọi là liên hợp Quillen.

 

Phức Kan và mở rộng Kan

 

Kí hiệu $\Lambda_i^n$ là horn thứ $i$ của $\Delta^n$, nhận được bằng cách xóa mặt (face) đối diện với đỉnh thứ $i$. Rõ ràng có một cấu xạ chính tắc $j_i:\Lambda_i^n \hookrightarrow \Delta^n$.

 

Định nghĩa: Một tập đơn hình $F$ được gọi là một phức Kan mạnh (strong) nếu nó thỏa mãn điều kiện mở rộng sau: mọi cấu xạ $f: \Lambda_i^n \to X, 0 \leq i \leq n$ tồn tại một cấu xạ nâng $\overline{f}: \Delta^n \to F$ thỏa mãn $\overline{f} \circ j_i = f$. Khi ta chỉ lấy các inner horn, tức là $\Lambda_i^n, 0 < i < n$ thì định nghĩa này trở thành phức Kan yếu (weak).

 

Để ý hình học hóa của các horn là các co rút (retract) của $\left | \Delta^n \right |$.

 

Định lý: $\mathrm{Sing}:\mathbb{Tops} \to \mathbb{Sets}^{\Delta^{op}}$ là một phức Kan.

 

Nếu chỉ dừng lại ở đây thì định nghĩa này đi vào bế tắc, ta sẽ đi đến định nghĩa nerve của một phạm trù và chỉ ra rằng phức Kan yếu là một điều kiện tự nhiên để một tập đơn hình là một nerve. Với mỗi phạm trù $\mathcal{C}$ ta xây dựng một tập $N(\mathcal{C})_n$ bao gồm tất cả các dãy độ dài $n$ các cấu xạ hợp thành được

$$C_0 \overset{f_1}{\rightarrow} C_1  \overset{f_2}{\rightarrow} ... \overset{f_{n-1}}{\rightarrow} C_n$$

Trong đó ánh xạ suy biến $d_i$ và biến dãy trên thành

$$d_i: C_0 \overset{f_1}{\rightarrow} C_1 ... \overset{f_{i-1}}{\rightarrow} C_{i-1} \overset{f_{i+1}\circ f_i}{\rightarrow} C_{i+1} \overset{f_{i+2}}{\rightarrow} ... C_n$$

$$s_i: C_0 \overset{f_1}{\rightarrow} C_1 ... \overset{f_{i}}{\rightarrow} C_{i} \overset{id_{C_{i}}}{\rightarrow} C_{i} \overset{f_{i+1}}{\rightarrow} C_{i+1} \overset{f_{i+2}}{\rightarrow}... C_n$$

 

Định lý: Một tập đơn hình $F$ là đẳng cấu với nerve của một phạm trù nhỏ khi và chỉ khi $F$ là một phức Kan yếu đồng thời cấu xạ nâng phải là duy nhất trên mỗi biểu đồ.

 

Chứng minh. [Jacob Lurie, Higher Topos Theory, Annal of Mathematics Studies no.$170$, p.$18$ - Foundations for Higher Category Theory].

 

Hình học hóa của phạm trù nhỏ và các định lý Quillen

 

Với định nghĩa nerve trong tay, ta có thể định nghĩa hình học hóa một phạm trù và xây dựng các không gian phân loại (classifying space) cho các nhóm rời rạc.

 

Định nghĩa: Hình học hóa của một phạm trù nhỏ $\mathcal{C}$ được định nghĩa là hình học hóa của nerve của nó xem như một tập đơn hình, kí hiệu $B\mathcal{C}$. Ta nói $\mathcal{C}$ thỏa mãn một tính chất topo & hình học nào đó nếu hình học hóa của nó thỏa mãn tính chất đó.

 

Ví dụ: $G = \mathbb{Z}/2$ là nhóm abel gồm hai phần tử xem như một groupoid và do đó là một phạm trù, hình học hóa của nó là không gian xạ ảnh vô hạn chiều $\mathbb{RP}^{\infty}$ - cũng đồng thời là không gian phân loại của nhóm $\mathbb{Z}/2$.

 

Để ý rằng một biến đổi tự nhiên giữa hai hàm tử giữa hai phạm trù nhỏ $\eta: S \to T; S,T: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ tương đương với một hàm tử $\mathcal{C} \times [2] \to \mathcal{D}$ mà hình học hóa của $[2]$ là đoạn $[0,1]$. Do đó:

 

Mệnh đề: Cho hai hàm tử giữa hai phạm trù nhỏ $S, T: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ khi đó mọi biến đổi tự nhiên $\eta: S \to T$ cảm sinh một đồng luân $B\mathcal{C} \times [0,1] \to B\mathcal{D}$.

 

Định lý (Quillen A theorem): Cho $S: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ là một hàm tử giữa hai phạm trù nhỏ sao cho mọi phạm trù comma $(d \downarrow S)$ là contractible với mọi vật $d \in \mathrm{Obj}(\mathcal{D})$ khi đó $BS: B\mathcal{C} \to B\mathcal{D}$ là một tương đương đồng luân.

 

Định lý (Quillen B theorem): Cho $S: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ là một hàm tử giữa hai phạm trù nhỏ sao cho với mọi cấu xạ $d \to d'$ trong $\mathcal{D}$ thì hàm tử cảm sinh $(d \downarrow S) \to (d' \downarrow S)$ là một tương đương đồng luân. Khi đó ta có một fibration $B(d \downarrow S) \to B\mathcal{C} \to B\mathcal{D} \ \forall d \in \mathrm{Obj}(\mathcal{D})$. Nói riêng ta có dãy khớp dài các nhóm đồng luân:

$$.. \longrightarrow \pi_{n+1}(B(d \downarrow S)) \longrightarrow \pi_{n+1}(B\mathcal{C}) \longrightarrow \pi_{n+1}(B\mathcal{D}) \longrightarrow \pi_{n-1}(B(d \downarrow S)) \longrightarrow ...$$

 

Chứng minh. [Charles Weilbel, The K-Book: An Introduction to Algebraic K-theory, Graduate Studies in Math, p.$319-321$ - chapter $3$ - Geometric realization of a small category].


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 17-01-2020 - 00:41

Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#4 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1558 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Geometry and Topology

Đã gửi 18-01-2020 - 15:47

Một số mô hình của $(\infty,1)$-phạm trù (finally!)

 

Trước hết ta bắt đầu với ý tưởng về một $n$-phạm trù (phạm trù có các $k$-cấu xạ với mọi $k\leq n$) bằng cách xét hai phạm trù bất kì $\mathcal{C}, \mathcal{D}$ và collection các hàm tử giữa (either variable) chúng $\mathrm{Fun}(\mathcal{C},\mathcal{D})$, nó có thể trở thành một phạm trù bằng cách xét các cấu xạ là biến đổi tự nhiên. Ở điểm này, ta có thể xem nó là một $2$-phạm trù (bicategory) và thường được lấy ra làm ví dụ dẫn nhập về phạm trù bậc cao. Nhưng ví dụ kinh điển nhất phải là $n$-groupoid cơ bản.

 

Ví dụ: Cho $X$ là một không gian topo và $0 \leq n \leq \infty$. Ta có thể xây dựng một $n$-phạm trù $\pi_{\leq n}X$ từ $X$ như sau: các vật là các điểm của $X$, các $1$-cấu xạ là các đường (path) giữa các điểm, $2$-cấu xạ là các đồng luân (homotopy) giữa các đường, and so forth. Nhưng tất cả ở đây phải lấy theo quan hệ đồng luân, phạm trù $\pi_{\leq n}X$ gọi là $n$-groupoid cơ bản của $X$. Khi $n=\infty$ ta thường gọi tắt $\infty$-groupoid.

 

Ta nhận thấy nếu chỉ xét các ánh xạ dưới quan hệ đồng luân thì mọi $k$-cấu xạ trong $\pi_{\leq k}X$ đều có thể nghịch đảo (invertible), cái này giống như trong nhóm cơ bản bạn có thể nghịch đảo đường $p(t)$ bằng đường $p(1-t)$, do đó tự nhiên ta nghĩ tới một mô hình cho các phạm trù bậc cao trong đó hầu hết các cấu xạ bị nghịch đảo. Thực tế không chỉ vì lý do này, mà nếu không xét việc các cấu xạ bị nghịch đảo thì việc định nghĩa $\infty$-phạm trù trở nên vô cùng phức tạp. Theo Jacob Lurie việc làm $(\infty,n)$-phạm trù (phạm trù mà mọi $k$-cấu xạ với $k > n$ thì khả nghịch) thực chất làm làm đầy từ các $(\infty,n-1)$-pham trù nên việc nghiên cứu $(\infty,1)$-phạm trù là bước đi hợp lý ($(\infty,0)$-phạm trù chỉ là phạm trù theo nghĩa thông thường). Một số mô hình dùng để định nghĩa $(\infty,1)$-phạm trù:

 

Mô hình topo: Một $(\infty,1)$-phạm trù là một phạm trù làm đầy từ phạm trù các không gian topo Hausdorff và sinh compact. (compactly generated Hausdorff spaces).

 

Chi tiết Hausdorff và sinh compact chỉ là vấn đề kĩ thuật, mô hình này dễ định nghĩa nhưng quá khó thực hành.

 

Nhưng ta thấy tập đơn hình cũng là một cách mô hình rất tốt lại một phạm trù thông qua nerve của nó:

 

Mô hình tập đơn hình: Một $(\infty,1)$-phạm trù là một tập đơn hình $K$ sao cho mọi cấu xạ $f: \Lambda_i^n \to K, 0 < i < n$ đều tồn tại một cấu xạ nâng (không nhất thiết duy nhất) $\overline{f}: \Delta^n \to K$.

 

Ví dụ:

  • Mọi phức Kan đều là một $(\infty,1)$-phạm trù. Nói riêng nếu $X$ là một không gian topo thì $\mathrm{Sing}(X)$ là $(\infty,1)$-phạm trù, đây có thể là một cách khác để định nghĩa $\pi_{\leq \infty}X$.
  • Nerve của mọi phạm trù đều là $(\infty,1)$-pham trù, do đó các phạm trù thông thường có thể xem một cách tự nhiên như $(\infty,1)$-phạm trù.

May mắn cả hai mô hình trên đều tương đương (in some sense) với mô hình sau:

 

Mô hình phạm trù đơn hình: Một phạm trù đơn hình là một pham trù làm đầy từ $\mathbb{Sets}^{\Delta^{op}}$.

 

Người ta cũng có thể dùng phạm trù mô hình để mô hình lại $(\infty,1)$-phạm trù, tuy nhiên mình chưa được tiếp cận cách dùng này vì nó khá phức tạp.

 

Giả thuyết đồng luân Grothendieck là một vấn đề còn lại của phạm trù bậc cao. Theo Grothedieck, thì mở rộng (generalization) của các $n$-groupoid cơ bản phải thực sự định nghĩa được không gian chính xác tới một đồng luân - đây là cái mà ông gọi là topo cho các nhà đại số (I guess). Nói chung, cái này phức tạp còn vào việc ta sử dụng mô hình nào cho $\infty$-groupoid (ví dụ trên kia là strict $\infty$-groupoid).

 

End!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 18-01-2020 - 15:57

Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: phạm trù mô hình, phạm trù bậc cao

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh