Đến nội dung

Hình ảnh

$f(f(x))+f(x)=( {{16}^{{{10}^{2018}}}}+( {16}^{10^{2018}} )^2 )x$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
MiTiBAM

MiTiBAM

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 15 Bài viết

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^+$ thoả mãn $f(f(x))+f(x)=( {{16}^{{{10}^{2018}}}}+( {16}^{10^{2018}} )^2 )x, \forall x\in \mathbb{R}^+$ (Cần Thơ TST 2019)



#2
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Đặt $16^{10^{2018}}=a\in\mathbb N^*$.

Từ phương trình hàm đã cho ta có $f(f(x))+f(x)=(a+a^2)x,\forall x\in\mathbb R^+$. (*)

Với mỗi $x\in\mathbb R^+$, xây dựng dãy số $(u_n)_n$ như sau:

$u_0=x; u_n=f(u_{n-1}),\forall n\in\mathbb N^*$.

Từ (*) ta có $u_{n+2}+u_{n+1}-(a^2+a)u_n=0,\forall n\in\mathbb N$.

Phương trình đặc trưng $\lambda^2+\lambda-(a^2+a)=0$ có hai nghiệm là $a$ và $-(a+1)$. 

Do đó $u_n=\alpha a^n+\beta(-a-1)^n$.

Ta có $u_{2n}\geq 0\Rightarrow 0\leq \alpha a^{2n}+\beta (a+1)^{2n}\Rightarrow \beta\geq -\alpha\left(\frac{a}{a+1}\right)^{2n}$.

$u_{2n+1}\geq 0\Rightarrow 0\leq \alpha a^{2n+1}-\beta (a+1)^{2n+1}\Rightarrow \beta \leq \alpha\left(\frac{a}{a+1}\right)^{2n+1}$.

Do đó $-\alpha\left(\frac{a}{a+1}\right)^{2n}\leq\beta \leq \alpha\left(\frac{a}{a+1}\right)^{2n+1},\forall n\in\mathbb N$. (1)

Từ (1) cho $n\to\infty$ và sử dụng nguyên lí kẹp ta có $\beta = 0$.

Do đó $x=u_0=\alpha a, f(x)=u_1=\alpha a^2 = ax$.

Thử lại ta thấy hàm này thoả mãn.

Vậy $f(x)=16^{10^{2018}}x,\forall x\in\mathbb R^+$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 03-10-2021 - 17:19





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh