Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^+$ thoả mãn $f(f(x))+f(x)=( {{16}^{{{10}^{2018}}}}+( {16}^{10^{2018}} )^2 )x, \forall x\in \mathbb{R}^+$ (Cần Thơ TST 2019)
$f(f(x))+f(x)=( {{16}^{{{10}^{2018}}}}+( {16}^{10^{2018}} )^2 )x$
#1
Đã gửi 03-10-2021 - 15:28
#2
Đã gửi 03-10-2021 - 17:16
Đặt $16^{10^{2018}}=a\in\mathbb N^*$.
Từ phương trình hàm đã cho ta có $f(f(x))+f(x)=(a+a^2)x,\forall x\in\mathbb R^+$. (*)
Với mỗi $x\in\mathbb R^+$, xây dựng dãy số $(u_n)_n$ như sau:
$u_0=x; u_n=f(u_{n-1}),\forall n\in\mathbb N^*$.
Từ (*) ta có $u_{n+2}+u_{n+1}-(a^2+a)u_n=0,\forall n\in\mathbb N$.
Phương trình đặc trưng $\lambda^2+\lambda-(a^2+a)=0$ có hai nghiệm là $a$ và $-(a+1)$.
Do đó $u_n=\alpha a^n+\beta(-a-1)^n$.
Ta có $u_{2n}\geq 0\Rightarrow 0\leq \alpha a^{2n}+\beta (a+1)^{2n}\Rightarrow \beta\geq -\alpha\left(\frac{a}{a+1}\right)^{2n}$.
$u_{2n+1}\geq 0\Rightarrow 0\leq \alpha a^{2n+1}-\beta (a+1)^{2n+1}\Rightarrow \beta \leq \alpha\left(\frac{a}{a+1}\right)^{2n+1}$.
Do đó $-\alpha\left(\frac{a}{a+1}\right)^{2n}\leq\beta \leq \alpha\left(\frac{a}{a+1}\right)^{2n+1},\forall n\in\mathbb N$. (1)
Từ (1) cho $n\to\infty$ và sử dụng nguyên lí kẹp ta có $\beta = 0$.
Do đó $x=u_0=\alpha a, f(x)=u_1=\alpha a^2 = ax$.
Thử lại ta thấy hàm này thoả mãn.
Vậy $f(x)=16^{10^{2018}}x,\forall x\in\mathbb R^+$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 03-10-2021 - 17:19
- perfectstrong, DOTOANNANG, KietLW9 và 4 người khác yêu thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh