Chủ đề này có 1 trả lời

[MiTiBAM]

Cho các đa thức $P(x),Q(x)$ với hệ số thực thoả mãn điều kiện $P(x)=Q(x)+Q(1-x),\forall x\in \mathbb R$. Biết $P(0)=0$ và các hệ số của $P(x)$ đều không âm. Tính $P(P(2013))$.

[phuc_90]

Cho các đa thức $P(x),Q(x)$ với hệ số thực thoả mãn điều kiện $P(x)=Q(x)+Q(1-x),\forall x\in \mathbb R$. Biết $P(0)=0$ và các hệ số của $P(x)$ đều không âm. Tính $P(P(2013))$.

 

Từ giả thiết $P(x)=Q(x)+Q(1-x)$ , ta thay $x$ bởi $1-x$ khi đó $P(1-x)=Q(1-x)+Q(x)$

 

Suy ra  $P(x)=P(1-x)\,\,\,,\,\,\,\forall x\in \mathbb{R}$   (*)

 

Giả sử $P(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n$  với các hệ số là các số thực không âm.

 

Từ (*) cho $x=0$ ta có $a_0=P(0)=P(1)=a_0+a_1+...+a_n$  suy ra  $a_1+a_2+...+a_n=0 \Rightarrow a_1=0,\,\,a_2=0,\,\,...,\,\,a_n=0$

 

Suy ra  $P(x)=a_0$  mà ta lại có $P(0)=0$  nên  $a_0=0$. Vậy $P(x)=0$

 

Điều này dẫn tới $P(P(2013))=0$