Chủ đề này có 1 trả lời

[MiTiBAM]

Cho 2014 số thực dương ${{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots,{{a}_{2014}}$ thỏa mãn điều kiện ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots+{{a}_{2014}}=2014$. 

 

Chứng minh rằng: $\dfrac{a_{1}^{20}}{a_{2}^{11}}+\dfrac{a_{2}^{20}}{a_{3}^{11}}+\cdots +\dfrac{a_{2013}^{20}}{a_{2014}^{11}}+\dfrac{a_{2014}^{20}}{a_{1}^{11}}\geq 2014$. 

[LTBN]

Áp dụng bất đẳng thức hoán vị cho hai bộ số đơn điệu ngược chiều $(a_1^{20},a_2^{20},...,a_{2014}^{20})$ và $(\frac{1}{a_1^{11}},\frac{1}{a_2^{11}},...,\frac{1}{a_{2014}^{11}})$ ta có:$VT\geq \sum_{i=1}^{2014}\frac{a^{20}_{i}}{a^{11}_{i}}=\sum_{i=1}^{2014}a_i^9\geq 2014(đpcm)$.