Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MiTiBAM: 04-10-2021 - 20:37
Chứng minh rằng $F(x)={{[P(x)]}^{2}}+1$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}$.
#2
Đã gửi 06-10-2021 - 22:27
Đa thức $P(x)$ với hệ số nguyên thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} P(2006)=2006! \\ xP(x-1)=(x-2006)P(x),\forall x\in \mathbb{R}. \end{matrix}\right.$Chứng minh rằng $F(x)={{[P(x)]}^{2}}+1$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}$.
Bổ đề 1: Nếu $H(x)$ là đa thức hệ số nguyên với $deg H < \infty$ thỏa $\left\{\begin{matrix}H(a_0)=1\,\,,\,\,a_0\in \mathbb{Z}\\H(x)=H(x-1)\,\,,\,\,\forall x\in \mathbb{R} \end{matrix}\right.$ thì $H(x)=1$
Thật vậy, từ điều kiện $\left\{\begin{matrix}H(a_0)=1\,\,,\,\,a_0\in \mathbb{Z}\\H(x)=H(x-1)\,\,,\,\,\forall x\in \mathbb{R} \end{matrix}\right.$
Ta suy ra được $H(n)=1\,\,,\,\,\forall n\in \mathbb{Z}$ , khi đó đa thức $H(x)-1$ sẽ có vô số nghiệm trên tập các số nguyên nên $H(x)-1\equiv 0$
Suy ra $H(x)=1$
Bổ đề 2: Đa thức $P(x)=(x-a_1)^2(x-a_2)^2...(x-a_n)^2+1$ là bất khả quy trên $\mathbb{Z}[x]$ với $a_1,a_2,..,a_n$ là các số nguyên
Giả sử $P(x)=Q(x)R(x)$ với $Q(x),R(x)$ là các đa thức hệ số nguyên và $1\leq deg Q\,\,,\,\,deg R\leq n-1$
Ta có $Q(a_i)R(a_i)=P(a_i)=1\,\,,\,\,i=\overline{1,n}$
Suy ra $Q(a_i)=R(a_i)=1$ hoặc $Q(a_i)=R(a_i)=-1$ với mọi $1\leq i\leq n$
Khi đó đa thức $Q(x)-R(x)$ có $deg(Q-R)\leq n-1$ nhưng có tới $n$ nghiệm là $a_1,a_2,..,a_n$
Do đó $Q(x)-R(x)\equiv 0$ hay $Q(x)=R(x)$
Khi đó ta có $Q^2(x)=P(x)=(x-a_1)^2(x-a_2)^2...(x-a_n)^2+1$
suy ra $\left ( Q(x)-(x-a_1)...(x-a_n) \right )\left ( Q(x)+(x-a_1)...(x-a_n) \right )=1$ (điều này không thể xảy ra)
Vậy $P(x)$ là đa thức bất khả quy trên $\mathbb{Z}[x]$
Trở lại bài toán
Ta có $\left\{\begin{matrix}0.P(-1)=-2006.P(0)\\ 1.P(0)=-2005.P(1)\\ ....................\\ 2006.P(2005)=0.P(2006)\end{matrix}\right.$ suy ra $P(0)=P(1)=...=P(2005)=0$
Khi đó ta có thể viết $P(x)$ dưới dạng $P(x)=x(x-1)...(x-2005)H(x)$ với $H(x)$ là đa thức có hệ số nguyên và $deg H < deg P$
Từ điều kiện $xP(x-1)=(x-2006)P(x)\,\,,\,\,\forall x\in \mathbb{R}$
Ta suy ra được $x(x-1)...(x-2006)H(x-1)=x(x-1)...(x-2006)H(x)\,\,,\,\,\forall x\in \mathbb{R}$
Điều này chỉ xảy ra khi $H(x)=H(x-1)\,\,,\,\,\forall x\in \mathbb{R}$
Mặt khác, ta có $2006!=P(2006)=2006! H(2006)$ suy ra $H(2006)=1$
Khi đó áp dụng các bổ đề trên ta có $P^2(x)+1$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}[x]$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuc_90: 06-10-2021 - 22:39
- perfectstrong, Lemonjuice và MiTiBAM thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh