Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{n.(n-1).(n-2).....(n-k+1)}{k!}$ tập hợp con với mỗi tập hợp con có $k$ phần tử

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1
bimcaucau

bimcaucau

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 84 Bài viết

Cho đa thức $A$ có $n$ phần tử, chứng minh rằng $A$ có:

$\frac{n.(n-1).(n-2).....(n-k+1)}{k!}$ tập hợp con với mỗi tập hợp con có $k$ phần tử ($k\leq n$)

 



#2
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
Số tập con chính là số tổ hợp chập k của n phần tử :
$C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} =\frac{n(n-1)(n-2)...(n-k+1)\overbrace {(n-k)(n-k-1)...3.2.1}^{(n-k)!}}{k!(n-k)!}=\frac{n(n-1)(n-2)...(n-k+1)}{k!}\qquad \square$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 28-07-2021 - 07:56

===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#3
bimcaucau

bimcaucau

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 84 Bài viết

Số tập con chính là số tổ hợp chập k của n phần tử :
$C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} =\frac{n(n-1)(n-2)...(n-k+1)\overbrace {(n-k)(n-k-1)...3.2.1}^{(n-k)!}}{k!(n-k)!}=\frac{n(n-1)(n-2)...(n-k+1)}{k!}\qquad \square$

kí hiệu $$C_{n}^{k}$ là gì vậy ạ 



#4
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết

kí hiệu $$C_{n}^{k}$ là gì vậy ạ 

Mình làm như vầy chắc là dễ thấy hơn :
Số cách chọn ptử thứ nhất là $n$.
Số cách chọn ptử thứ hai là $n-1$.
Số cách chọn ptử thứ ba là $n-2$.
.
.
.
Số cách chọn ptử thứ k là $n-(k-1)=n-k
+1$.
Theo qui tắc nhân ta có số cách chọn k ptử từ n ptử là :$n(n-1)(n-2)...(n-k+2)(n-k+1)$. Nhưng đếm như thế là tính đến thứ tự của k ptử do đó kết quả là :
$$\frac {n(n-1)(n-2)...(n-k+1)}{k!}$$
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#5
bimcaucau

bimcaucau

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 84 Bài viết

Mình làm như vầy chắc là dễ thấy hơn :
Số cách chọn ptử thứ nhất là $n$.
Số cách chọn ptử thứ hai là $n-1$.
Số cách chọn ptử thứ ba là $n-2$.
.
.
.
Số cách chọn ptử thứ k là $n-(k-1)=n-k
+1$.
Theo qui tắc nhân ta có số cách chọn k ptử từ n ptử là :$n(n-1)(n-2)...(n-k+2)(n-k+1)$. Nhưng đếm như thế là tính đến thứ tự của k ptử do đó kết quả là :
$$\frac {n(n-1)(n-2)...(n-k+1)}{k!}$$

tại sao tính đến thứ tự của k phần tử lại phải chia k! vậy ạ



#6
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết

tại sao tính đến thứ tự của k phần tử lại phải chia k! vậy ạ

Theo những gì mình đã trải qua, thiết nghĩ một khi mình tự đặt câu hỏi thì mình cố gắng động não tự trả lời, có thể chưa trọn vẹn (bằng cách đưa về trường hợp đơn giản hơn). Ý muốn nói ta phải tập thói quen suy nghĩ và tích cực động não chỉ những tình huống lạ lẫm, vượt ngoài sự hiểu biết hiện thời
của mình thì mới hỏi.
Trở lại câu hỏi, ta đưa về trường hợp đơn giản để xét như sau
: Có bao nhiêu cách xếp 3 ký tự A,B,C:
1/ có kể đến thứ tự : ta có các cách xếp : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA-->6 cách.
2/không kể thứ tự :thì các cách xếp trên chỉ là $1$ cách.
Thật vậy, số cách xếp không kể đến thứ tự là $\frac {6}{3!}=1$ cách. ( tức là phải chia cho $k!$).
Thư bất tận ngôn, ngôn bất tận ý.
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#7
bimcaucau

bimcaucau

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 84 Bài viết

Theo những gì mình đã trải qua, thiết nghĩ một khi mình tự đặt câu hỏi thì mình cố gắng động não tự trả lời, có thể chưa trọn vẹn (bằng cách đưa về trường hợp đơn giản hơn). Ý muốn nói ta phải tập thói quen suy nghĩ và tích cực động não chỉ những tình huống lạ lẫm, vượt ngoài sự hiểu biết hiện thời
của mình thì mới hỏi.
Trở lại câu hỏi, ta đưa về trường hợp đơn giản để xét như sau
: Có bao nhiêu cách xếp 3 ký tự A,B,C:
1/ có kể đến thứ tự : ta có các cách xếp : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA-->6 cách.
2/không kể thứ tự :thì các cách xếp trên chỉ là $1$ cách.
Thật vậy, số cách xếp không kể đến thứ tự là $\frac {6}{3!}=1$ cách. ( tức là phải chia cho $k!$).
Thư bất tận ngôn, ngôn bất tận ý.

mấy cái này em biết rồi bác @@, đây là chứng minh từ thực nghiệm thôi, có cách nào chứng minh rõ ràng theo lý thuyết được không ạ?



#8
bimcaucau

bimcaucau

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 84 Bài viết

Theo những gì mình đã trải qua, thiết nghĩ một khi mình tự đặt câu hỏi thì mình cố gắng động não tự trả lời, có thể chưa trọn vẹn (bằng cách đưa về trường hợp đơn giản hơn). Ý muốn nói ta phải tập thói quen suy nghĩ và tích cực động não chỉ những tình huống lạ lẫm, vượt ngoài sự hiểu biết hiện thời
của mình thì mới hỏi.
Trở lại câu hỏi, ta đưa về trường hợp đơn giản để xét như sau
: Có bao nhiêu cách xếp 3 ký tự A,B,C:
1/ có kể đến thứ tự : ta có các cách xếp : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA-->6 cách.
2/không kể thứ tự :thì các cách xếp trên chỉ là $1$ cách.
Thật vậy, số cách xếp không kể đến thứ tự là $\frac {6}{3!}=1$ cách. ( tức là phải chia cho $k!$).
Thư bất tận ngôn, ngôn bất tận ý.

hoặc là một cách giải thích tổng quát không bằng cụ thể cũng được ạ @@



#9
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

mấy cái này em biết rồi bác @@, đây là chứng minh từ thực nghiệm thôi, có cách nào chứng minh rõ ràng theo lý thuyết được không ạ?

Đấy không phải là chứng minh. Đó là minh họa.Còn chứng minh thì bạn Nobodyv3 đã làm trong post #4 rồi.

 

Mình làm như vầy chắc là dễ thấy hơn :
Số cách chọn ptử thứ nhất là $n$.
Số cách chọn ptử thứ hai là $n-1$.
Số cách chọn ptử thứ ba là $n-2$.
.
.
.
Số cách chọn ptử thứ k là $n-(k-1)=n-k+1$.
Theo qui tắc nhân ta có số cách chọn k ptử từ n ptử là :$n(n-1)(n-2)...(n-k+2)(n-k+1)$. Nhưng đếm như thế là tính đến thứ tự của k ptử do đó kết quả là :
$$\frac {n(n-1)(n-2)...(n-k+1)}{k!}$$

Còn câu hỏi vì sao lại chia cho $k!$ thì là một bài tập căn bản: cho trước $k$ học sinh, có bao nhiêu cách xếp các học sinh đó thành một hàng ngang?

Lý luận tương tự như trên: vị trí $1$ (từ trái qua) có $k$ cách chọn, vị trí $2$ có $k-1$ (vì đã chọn ra một học sinh cho vị trí $1$), vị trí $3$ có $k-2$ (vì đã chọn ra 2 học sinh cho vị trí $1$), v.v

Kết quả sẽ là $k(k-1)(k-2) \ldots 3.2.1 = k!$


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#10
bimcaucau

bimcaucau

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 84 Bài viết

Đấy không phải là chứng minh. Đó là minh họa.Còn chứng minh thì bạn Nobodyv3 đã làm trong post #4 rồi.

 

Còn câu hỏi vì sao lại chia cho $k!$ thì là một bài tập căn bản: cho trước $k$ học sinh, có bao nhiêu cách xếp các học sinh đó thành một hàng ngang?

Lý luận tương tự như trên: vị trí $1$ (từ trái qua) có $k$ cách chọn, vị trí $2$ có $k-1$ (vì đã chọn ra một học sinh cho vị trí $1$), vị trí $3$ có $k-2$ (vì đã chọn ra 2 học sinh cho vị trí $1$), v.v

Kết quả sẽ là $k(k-1)(k-2) \ldots 3.2.1 = k!$

em vẫn không hiểu có k! cách xếp thành hàng ngang thì tại sao $n.(n-1)....(n-k+1)$ cách xếp phần tử phải chia cho k! ạ


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bimcaucau: 28-07-2021 - 16:35


#11
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

em vẫn không hiểu có k! cách xếp thành hàng ngang thì tại sao $n.(n-1)....(n-k+1)$ cách xếp phần tử phải chia cho k! ạ

Theo cách chọn ban đầu thì bạn sẽ có rất nhiều cách chọn trùng vì bạn không quan tâm đến thứ tự.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh