Cho đa thức hệ số nguyên thỏa mãn $P(1 + \sqrt{2}) = 0$, chứng minh rằng $P(1 - \sqrt{2}) = 0$.
Cho đa thức hệ số nguyên thỏa mãn $P(1 + \sqrt{2}) = 0$, chứng minh rằng $P(1 - \sqrt{2}) = 0$.
Bắt đầu bởi bebu7878, 09-10-2021 - 23:14
#2
Đã gửi 09-10-2021 - 23:32
LTBN
-
- Thành viên mới
-
- 37 Bài viết
Binh nhất
Giả sử P(x) chia cho $x^2-2x-1$ dư $R(x)$.
Ta có $P(x)=Q(x).(x^2-2x-1)+R(x)$.
Dễ thấy $R(x)$ có bậc 0 hoặc bậc 1.
+) Nếu $R(x)=c$ (c là hằng số) thì $P(1+\sqrt{2})=c\Rightarrow c=0$.
+) Nếu $R(x)=ax+b$ thì $a(1+\sqrt{2})+b=0$. Mà $a,b\in\mathbb Z$ nên $a=b=0$.
Suy ra $P(x)=(x^2-2x-1).Q(x)$ nên $P(1-\sqrt{2})=0$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LTBN: 10-10-2021 - 07:40
#4
Đã gửi 10-10-2021 - 09:45
pcoVietnam02
-
- Thành viên
-
- 208 Bài viết
Thượng sĩ
Chỉ cần bạn nắm được là vì là đa thức hệ số nguyên nên từ $P(1+\sqrt 2)=0$ thì $P(-1)=0$ thì do đó $P(1-\sqrt 2)=0$
#5
Đã gửi 11-10-2021 - 09:50
ngtien1255
-
- Thành viên mới
-
- 35 Bài viết
Binh nhất
Chỉ cần bạn nắm được là vì là đa thức hệ số nguyên nên từ $P(1+\sqrt 2)=0$ thì $P(-1)=0$ thì do đó $P(1-\sqrt 2)=0$
Cái này làm sao mà đúng được bạn?
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh
