Với các số thực $a, b, c$ thỏa mãn $a^2 + b^2 + c^2 = 3$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \sum{|2a^3 + bc|}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nothingtosay: 10-10-2021 - 06:44
Với các số thực $a, b, c$ thỏa mãn $a^2 + b^2 + c^2 = 3$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \sum{|2a^3 + bc|}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nothingtosay: 10-10-2021 - 06:44
Với các số thực $a, b, c$ thỏa mãn $a^2 + b^2 + c^2 = 3$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \sum{|2a^3 + bc|}$.
Cách 1: Xét BĐT phụ $|a+b|\ge |a|-|b|$ (1). Dấu = xảy ra khi và chỉ khi ab<=0 và |a|>=|b|.
Sử dụng BĐT (1) ta suy ra được $P\ge 2\sum|a^3|-\sum |b||c|$=2(x^3+y^3+z^3)-(xy+yz+zx)$ với $x^2+y^2+z^2=3; x,y,z>=0$
Ta có $x^2+y^2+z^2=3>=xy+yz+zx$; $2\sum x^3=\sum (x^3+x^3+1)-3\ge 3(x^2+y^2+z^2)-3=9-3=6$
Suy ra được $P\ge 6-3=3$. Dấu = xảy ra khi (a,b,c)=(1,1,-1), (-1,-1,-1)
Cách 2: Xét dấu
Do bất đẳng thức đối xứng với ba biến a, b, c nên không giảm tổng quát ta giả sử $a\ge b\ge c$
TH1. Nếu a, b,c cùng không âm thì hiển nhiên ta có $P=|2a^3+bc|+|2b^3+ac|+|2c^3+ab|=2\sum |a^3|+\sum |b||c|$. Do đó trong trường
hợp này luôn có thể giả sử $a\ge b\ge c\ge 0$. Nên P=$2(a^3+b^3+c^3)+(ab+bc+ac)$
TH2. Nếu $a\ge 0\ge b\ge c$ thì $P=2a^3+(-b)(-c)-2b^3+a(-c)-2c^3+a(-b)$.
Do đó trong trường hợp này thay $(a,b,c) -> (a,-b,-c)$ với a,b,c>=0 thì ta qui về bài toán trường hợp 1.
Lúc này bài toán của TH1,TH2 là: Tìm GTNN P=2\sum a^3+\sum ab với a,b,c không âm thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=3$. Thật vậy:
Ta có $P=\sum (a^3+a^3+1)+\sum ab-3\ge 3(a^2+b^2+c^2)-3=3.3-3=6$
TH3. Nếu $a\ge b\ge 0\ge c$. Khi đó ta thay (a,b,c) bởi $(a,b,-c) với a,b,c>=0$. Lúc này tìm GTNN của biểu thức
$P=|2a^3-bc|+|2b^3-ac|+|ab-2c^3|\ge 2(a^3+b^3+c^3)-(ab+bc+ac)=\sum (a^3+a^3+1)-\sum ab-3\ge 3\sum a^2+\sum ab-3$
Từ $a^2+b^2+c^2=3\ge ab+bc+ac$. Suy ra được $P\ge 3.3-3-3=3$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi (a,b,-c)=(1,1,1) hay (a,b,c) ban đầu bằng (1,1,-1) và các hoán vị.
TH4. Nếu a,b,c cùng âm thì thay (a,b,c) bởi (-a;-b;-c), sao cho a,b,c>=0 thì ta có:
$P=\sum |-2a^3+bc|\ge \sum (2a^3-bc)=2(a^3+b^3+c^3)-(ab+bc+ac)>=3 $ tương tự trường hợp 3.
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=-1$
Như vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 3 khi (a,b,c)=(1,1,-1) và các hoán vị và (a,b,c)=(-1,-1,-1)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hanguyen445: 14-10-2021 - 16:43
Nếu a, b,c cùng dấu thì hiển nhiên ta có $P=|2a^3+bc|+|2b^3+ac|+|2c^3+ab|=2\sum |a^3|+\sum |b||c|$.
Chỗ này sai. $a,b,c$ cùng âm thì $|2a^3 + bc| \neq 2|a^3| + |bc|$ vì $a^3 \le 0$ mà $bc \ge 0$.
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh