Chủ đề này có 2 trả lời

[youknower]

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A. E, F$ trên tia $AB,  AC$ sao cho tam giác $ABC$ vuông cân ( $AE > AB, AF > AC$).

Chứng minh $EF$ tiếp xúc với $(ABC)$ khi và chỉ khi $BE + CF = BC.\sqrt{2}$

[dat09]

+) Chiều thuận:

Gọi O là trung điểm BC, đường tròn (O) tiếp xúc với EF tại M. Lấy H,K thuộc EF sao cho BH và CK vuông góc EF, L thuộc BC sao cho ML vuông góc BC.

Ta thấy $\angle CMK=\angle MBH$ vì cùng phụ $\angle BMH$, $\angle CMK=\angle MBC$ vì (BC) tiếp xúc EF tại M

Suy ra $\Delta MHB=\Delta MLB$ (Cạnh huyền góc nhọn). Tương tự $\Delta MKC=\Delta MLC$

Vậy thì $BC\sqrt{2}=\sqrt{2}(LB+LC)=\sqrt{2}BH+\sqrt{2}CK=BE+CF$

+) Chiều đảo:

Gọi M là hình chiếu của O trên EF. Ta có ngay $OM=\frac{1}{2}(BH+CK)=\frac{1}{2}.\frac{BE+CF}{\sqrt{2}}=\frac{BC}{2}$

Suy ra (O) tiếp xúc với EF tại M.

[youknower]

geogebra-export.png

+) Chiều thuận:

Gọi O là trung điểm BC, đường tròn (O) tiếp xúc với EF tại M. Lấy H,K thuộc EF sao cho BH và CK vuông góc EF, L thuộc BC sao cho ML vuông góc BC.

Ta thấy $\angle CMK=\angle MBH$ vì cùng phụ $\angle BMH$, $\angle CMK=\angle MBC$ vì (BC) tiếp xúc EF tại M

Suy ra $\Delta MHB=\Delta MLB$ (Cạnh huyền góc nhọn). Tương tự $\Delta MKC=\Delta MLC$

Vậy thì $BC\sqrt{2}=\sqrt{2}(LB+LC)=\sqrt{2}BH+\sqrt{2}CK=BE+CF$

+) Chiều đảo:

Gọi M là hình chiếu của O trên EF. Ta có ngay $OM=\frac{1}{2}(BH+CK)=\frac{1}{2}.\frac{BE+CF}{\sqrt{2}}=\frac{BC}{2}$

Suy ra (O) tiếp xúc với EF tại M.

Chỉ cần làm chiều đảo $OM=\frac{1}{2}(BH+CK)=\frac{1}{2}.\frac{BE+CF}{\sqrt{2}}$
suy ra $EF$ tiếp xúc với $(ABC)$ khi và chỉ khi $BE + CF = BC.\sqrt{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi youknower: 29-07-2021 - 22:46