Bài toán: Tìm tất cả đa thức $P(x)\,,\,Q(x)\in \mathbb{Z}[x]$ sao cho $P(Q(x))=Q(P(x))$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuc_90: 11-10-2021 - 14:13
Bài toán: Tìm tất cả đa thức $P(x)\,,\,Q(x)\in \mathbb{Z}[x]$ sao cho $P(Q(x))=Q(P(x))$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuc_90: 11-10-2021 - 14:13
Ta đặt $\displaystyle \deg P( x) =\deg Q( x) =n$ và đặt $\displaystyle R( x) =P( x) -Q( x)$ với $\displaystyle \deg R( x) =k\leqslant n-1$. Ta sẽ chỉ ra $\displaystyle R( x)$ là đa thức đồng nhất hằng. Chú ý rằng ta có thể tách$P( P( x)) -Q( Q( x)) =P( P( x)) -Q( P( x)) +Q( P( x)) -Q( Q( x)) =R( P( x)) +Q( P( x)) -Q( Q( x))$Đặt $\displaystyle Q( x) =\sum _{i=1}^{n} a_{i} .x^{i}$ trong đó $\displaystyle a_{n} =1$.$Q( P( x)) -Q( Q( x)) =P( x)^{n} -Q( x)^{n} +\sum _{i=1}^{n-1} a_{i}\left[ P( x)^{i} -Q( x)^{i}\right]$Mặt khác $\displaystyle \deg\left( P( x)^{n} -Q( x)^{n}\right) =\deg\left( R( x)\left(\sum _{i=1}^{n-1} P( x)^{i} Q( x)^{n-i-1}\right)\right) =n^{2} -n+k$ nên $\displaystyle \deg( Q( P( x)) -Q( Q( x))) =n^{2} -n+k$ và $\displaystyle \deg( R( P( x)) +Q( P( x)) -Q( Q( x))) =max\left\{R( P( x)) ,n^{2} -n+k\right\} =n^{2} -n+k$ vì $\displaystyle nk\leqslant n^{2} -n+k$ nên rõ ràng đây là điều không thể xảy ra do vế trái là đa thức 0. Vậy $\displaystyle \deg R( x) =0$ hay $\displaystyle R( x) \equiv c$ và ta có $\displaystyle P( x) =Q( x) +c$ . Thay vào$Q( P( x)) +c=Q( Q( x) +c) +c=Q( Q( x))$Từ đây đặt $\displaystyle Q( x) =t$ thì suy ra $\displaystyle Q( t+c) +c=Q( t)$ với vô số giá trị $\displaystyle t$ nên $\displaystyle c=0$. Dẫn tới $\displaystyle P( x) \equiv Q( x)$
Em nghĩ lời giải có thể có chút lỗi nào đó vì nếu $P(x)\equiv x$ thì $Q(P(x))=Q(x)=P(Q(x))$ hoặc $P(x)=x^m;Q(x)=x^n$ với $m,n\in\mathbb N$.
(Hình như bậc của hai đa thức chưa hẳn đã bằng nhau ạ)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LTBN: 11-10-2021 - 11:30
Ta đặt $\displaystyle \deg P( x) =\deg Q( x) =n$ và đặt $\displaystyle R( x) =P( x) -Q( x)$ với $\displaystyle \deg R( x) =k\leqslant n-1$. Ta sẽ chỉ ra $\displaystyle R( x)$ là đa thức đồng nhất hằng. Chú ý rằng ta có thể tách$P( P( x)) -Q( Q( x)) =P( P( x)) -Q( P( x)) +Q( P( x)) -Q( Q( x)) =R( P( x)) +Q( P( x)) -Q( Q( x))$Đặt $\displaystyle Q( x) =\sum _{i=1}^{n} a_{i} .x^{i}$ trong đó $\displaystyle a_{n} =1$.$Q( P( x)) -Q( Q( x)) =P( x)^{n} -Q( x)^{n} +\sum _{i=1}^{n-1} a_{i}\left[ P( x)^{i} -Q( x)^{i}\right]$Mặt khác $\displaystyle \deg\left( P( x)^{n} -Q( x)^{n}\right) =\deg\left( R( x)\left(\sum _{i=1}^{n-1} P( x)^{i} Q( x)^{n-i-1}\right)\right) =n^{2} -n+k$ nên $\displaystyle \deg( Q( P( x)) -Q( Q( x))) =n^{2} -n+k$ và $\displaystyle \deg( R( P( x)) +Q( P( x)) -Q( Q( x))) =max\left\{R( P( x)) ,n^{2} -n+k\right\} =n^{2} -n+k$ vì $\displaystyle nk\leqslant n^{2} -n+k$ nên rõ ràng đây là điều không thể xảy ra do vế trái là đa thức 0. Vậy $\displaystyle \deg R( x) =0$ hay $\displaystyle R( x) \equiv c$ và ta có $\displaystyle P( x) =Q( x) +c$ . Thay vào$Q( P( x)) +c=$$Q( Q( x) +c) +c=Q( Q( x))$Từ đây đặt $\displaystyle Q( x) =t$ thì suy ra $\displaystyle Q( t+c) +c=Q( t)$ với vô số giá trị $\displaystyle t$ nên $\displaystyle c=0$. Dẫn tới $\displaystyle P( x) \equiv Q( x)$
Lời giải này lập luận còn thiếu sót, không rõ ràng, không chính xác.
Thiếu sót: Thiếu trường hợp $deg P \neq deg Q$
Không rõ ràng: Nếu $deg P=deg Q=n$ thì hệ số của biến có số mũ cao nhất của 2 đa thức bạn đang xét tới là chúng bằng 1 hay khác 1. Nếu chúng cùng bằng 1 thì $k\leq n-1$, còn chúng khác nhau thì $k\leq n$.
Chỗ lập luận được bôi màu xanh dương. Nếu $k=n-1$ thì sao ? Lúc này $\displaystyle \deg( R( P( x)) +Q( P( x)) -Q( Q( x))) =max\left\{R( P( x)) ,n^{2} -n+k\right\} =n^{2} -n+k=n^2-1$ và $deg (P(P(x))-Q(Q(x))=n^2-1$ (ở đây tôi xem như bạn đang xét hệ số của biến có số mũ cao nhất của 2 đa thức là bằng 1) thì làm sao có điều vô lý ở đây
Không chính xác: Chỗ lập luận được bôi màu đỏ, bạn phán $VT=P(P(x))-Q(Q(x))$ bằng 0, tôi cũng chào thua
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuc_90: 11-10-2021 - 14:09
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh