Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\sum \frac{a^{2}}{b} \geq 3$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 hieutt

hieutt

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 16 Bài viết

Đã gửi 24-01-2020 - 23:13

Cho a,b,c là các số thực dương sao cho: 

 

$a^{4} + b^{4} + c^{4} = 3$

 

Chứng minh rằng:

 

$\frac{a^{2}}{b} + \frac{b^{2}}{c} + \frac{c^{2}}{a} \geq 3$

 

$\frac{a^{2}}{b + c} + \frac{b^{2}}{c + a} + \frac{c^{2}}{a + b} \geq \frac{3}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hieutt: 24-01-2020 - 23:34


#2 tthnew

tthnew

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:nơi nào...
  • Sở thích:Đọc sách, phân tích bình phương sos, chứng minh BĐT, v.v...

Đã gửi 26-01-2020 - 19:43

Em cho rằng, bài này không thể giải nếu không có sự trợ giúp của phần mềm tính toán, cụ thể là Wolfram Alpha. Nhất là khi dùng giải pháp trâu bò của em.

Chú ý: $3=\sqrt[4]{27(a^4 +b^4 +c^4)}$. Từ đó BĐT qui về chứng minh:

a) $$(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a})^4 \geq 27(a^4+b^4+c^4)$$

Giả sử $c=\min\{a,b,c\}$. Đặt $a=c+x$,$b=c+y$ thì $x,y \geq 0$

Khi đó $VT - VP=$ (anh xem ở đây, dài quá, em ngại đánh máy lắm.)

Dễ thấy nó hiển nhiên không âm. Ta có qed.

b)$$(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b})^4 \geq \frac{27(a^4+b^4+c^4)}{16}$$

Giả sử $c=\min\{a,b,c\}$. Đặt $a=c+x$,$b=c+y$ thì $x,y \geq 0$

$VT -VP=$ (xem ở đây, mấy cái dấu trừ đó anh tự tìm hạng tử thích hợp ghép vô nha, em nhìn hồi mù mắt mất)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 26-01-2020 - 19:57


#3 Sin99

Sin99

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 487 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:【$ \textbf {PTNK} $】
  • Sở thích:$ \textbf{ Alone } $

Đã gửi 26-01-2020 - 20:58

Thực ra là có thể.... :) 

Tham khảo ở đây: 

https://artofproblem...71_inequalities

https://artofproblem...c6h38369p388889


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 26-01-2020 - 21:00

๐·°(৹˃̵﹏˂̵৹)°·๐


#4 hieutt

hieutt

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 16 Bài viết

Đã gửi 27-01-2020 - 00:55

Em cảm ơn các bác. Như link bác @Sin99 gửi thì solution cho phần b chưa có thì phải ạ. 

 

$\frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{c+a} + \frac{c^2}{a+b} \geq 3$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hieutt: 27-01-2020 - 01:00


#5 hieutt

hieutt

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 16 Bài viết

Đã gửi 27-01-2020 - 01:01

Em cho rằng, bài này không thể giải nếu không có sự trợ giúp của phần mềm tính toán, cụ thể là Wolfram Alpha. Nhất là khi dùng giải pháp trâu bò của em.

Chú ý: $3=\sqrt[4]{27(a^4 +b^4 +c^4)}$. Từ đó BĐT qui về chứng minh:

a) $$(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a})^4 \geq 27(a^4+b^4+c^4)$$

Giả sử $c=\min\{a,b,c\}$. Đặt $a=c+x$,$b=c+y$ thì $x,y \geq 0$

Khi đó $VT - VP=$ (anh xem ở đây, dài quá, em ngại đánh máy lắm.)

Dễ thấy nó hiển nhiên không âm. Ta có qed.

b)$$(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b})^4 \geq \frac{27(a^4+b^4+c^4)}{16}$$

Giả sử $c=\min\{a,b,c\}$. Đặt $a=c+x$,$b=c+y$ thì $x,y \geq 0$

$VT -VP=$ (xem ở đây, mấy cái dấu trừ đó anh tự tìm hạng tử thích hợp ghép vô nha, em nhìn hồi mù mắt mất)

Em cảm ơn bác ạ.



#6 huykinhcan99

huykinhcan99

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 331 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Toán K26 - Chuyên Thái Nguyên

Đã gửi 27-01-2020 - 01:28

Ta có

\begin{align*} \left(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\right)^4&=\sum\left[\dfrac{a^8}{b^4}+4\left(\dfrac{a^6}{bc}+\dfrac{a^5c^2}{b^3}\right)+6\dfrac{a^4b^2}{c^2}+12a^3c\right] \\ &=\sum\left(\dfrac{a^8}{b^4}+4\dfrac{a^6}{bc}+3\dfrac{a^5c^2}{b^3}+\dfrac{b^5a^2}{c^3}+6\dfrac{a^4b^2}{c^2}+12a^3c\right) \\ &\geqslant 27\sum{\sqrt[27]{\dfrac{a^8}{b^4}\cdot\dfrac{a^{24}}{b^4c^4}\cdot\dfrac{a^{15}c^6}{b^9}\cdot\dfrac{b^5a^2}{c^3}\cdot\dfrac{a^{24}b^{12}}{c^{12}}\cdot a^{36}c^{12}}}=27\sum\left(a^4\sqrt[27]{\dfrac{a}{c}}\right) \\ &\geqslant 27\sum\left(\dfrac{109}{108}a^4-\dfrac{1}{108}c^4\right)=27\left(a^4+b^4+c^4\right)=81 \end{align*}

 

Từ đó ta có điều phải chứng minh...


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huykinhcan99: 27-01-2020 - 01:30

$$\text{Vuong Lam Huy}$$

#7 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1694 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 27-01-2020 - 13:01

@HaiDangel

$\left ( \frac{a^{2}}{b}+ \frac{b^{2}}{c}+ \frac{c^{2}}{a} \right )^{4}- 27(a^{4}+ b^{4}+ c^{4})=$

$= \sum\limits_{cyc}\frac{a^{2}}{7b^{4}c^{3}}(7a^{6}c^{3}+ 28a^{4}b^{3}c^{2}+ 20a^{3}b^{5}c+ 40a^{2}b^{6}c+ 84ab^{4}c^{4}+ 8b^{9}+ 2b^{2}c^{7}- 189a^{2}b^{4}c^{3})\geqq 0$


20:46, 22/12/2019

 
 
In how many ways can a laser beam enter at vertex, bounce off n surfaces, then exit through the same vertex?

 


#8 toanhoc2017

toanhoc2017

    Trung úy

  • Thành viên
  • 827 Bài viết

Đã gửi 18-02-2020 - 12:15

HAY






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh