ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM ĐỀ DỰ TUYỂN MÔN TOÁN NĂM 2021-2022
TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU Ngày thi : 25/09/2021
---------------------------------------------------------- Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề
Bài 1. (5,0 điểm)
Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa $a^2+b^2+c^2=3$
a) Chứng minh rằng $a^{4n}+b^{4n}+c^{4n}+a^nb^n+b^nc^n+c^na^n\geq 6 \,\,\,,\,\,\forall n\in \mathbb{N}$
b) Hỏi bất đẳng thức trên còn đúng khi thay $n=\frac{2}{3}$ ?
Bài 2. (5,0 điểm)
Cho $n$ là số nguyên dương chẵn, có tổng các ước nguyên dương của nó là số lẻ. Chứng minh rằng tổng các ước chính phương (nhỏ hơn $n$) của $n$ sẽ không nhỏ hơn $\frac{n}{4}$
Bài 3. (5,0 điểm)
Cho tam giác $ABC$, gọi $A_1\,,\,B_1\,,\,C_1$ lần lượt là các điểm đối xứng của $A\,,\,B\,,\,C$ qua $BC\,,\,CA\,,\,AB$
Chứng minh rằng $A_1\,,\,B_1\,,\,C_1$ thẳng hàng khi và chỉ khi $cosA\,cosB\,cosC\,\,=\,\,-\frac{3}{8}$
Bài 4. (5,0 điểm)
Một quốc gia có $99$ thành phố, khoảng cách giữa hai thành phố bất kì không vượt quá $1000$ km. Hai thành phố thuộc quốc gia này được gọi là "xa nhau" nếu khoảng cách giữa chúng lớn hơn hoặc bằng $500\sqrt{2}$ km. Hỏi quốc gia này có bao nhiêu cặp thành phố xa nhau ?
--------------------------- HẾT ---------------------------------