Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 1 Bình chọn

Bài tập Logarit

logarit

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 Tantran2510

Tantran2510

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 43 Bài viết

Đã gửi 30-01-2020 - 21:53

Mọi người giúp em những bài này với ạ, em đã giải rồi nhưng có chút thắc mắc với kết quả.

 

1. Chứng minh rằng : $\log _{8}9 + \log _{9}10 + \log _{10}11 < 2\log_{2}3$ 

2. Cho dãy số $(u_{n})$ xác định bởi $u_n = \frac{1}{\log _n 2010} ; n=2,3,4,...$

$a= u_{11} + u_{12} + u_{13} + u_{14} + u_{24}$

$b= u_{63} + u_{64} + u_{65} + u_{66} + u_{67}$

Tính $M = b-a$

3. Cho $x,y,z,a$ là các số thực dương đôi một khác nhau và khác 1 thỏa mãn: 

$\log_{a}x = 1+\log_{a}x.\log_az;$

$\log_ay= 1+ \log_ay.\log_ax$

Tính $A= \log_{\frac{a}{x}}x.\log_{\frac{a}{y}}y.\log_{\frac{a}{z}}z.\log_xa.\log_ya.\log_za$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tantran2510: 30-01-2020 - 21:54


#2 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1736 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 31-01-2020 - 11:36

Mọi người giúp em những bài này với ạ, em đã giải rồi nhưng có chút thắc mắc với kết quả.

 

1. Chứng minh rằng : $\log _{8}9 + \log _{9}10 + \log _{10}11 < 2\log_{2}3$ 

2. Cho dãy số $(u_{n})$ xác định bởi $u_n = \frac{1}{\log _n 2010} ; n=2,3,4,...$

$a= u_{11} + u_{12} + u_{13} + u_{14} + u_{24}$

$b= u_{63} + u_{64} + u_{65} + u_{66} + u_{67}$

Tính $M = b-a$

3. Cho $x,y,z,a$ là các số thực dương đôi một khác nhau và khác 1 thỏa mãn: 

$\log_{a}x = 1+\log_{a}x.\log_az;$

$\log_ay= 1+ \log_ay.\log_ax$

Tính $A= \log_{\frac{a}{x}}x.\log_{\frac{a}{y}}y.\log_{\frac{a}{z}}z.\log_xa.\log_ya.\log_za$

Cả ba bài này đều dùng một công thức biến đổi quen thuộc trong logarit đó là : Với điều kiện xác định, ta luôn có: $log_{a}(b)=\frac{ln(b)}{ln(a)}$ 

Áp dụng điều này vào các bài toán trên:

Bài 1: Ta có: $log_{8}9+log_{9}10+log_{10}{11}<2log_2{3}$

$\iff \frac{ln 9}{ln 8}+\frac{ln 10}{ln 9}+\frac{ln 11}{ln 10}<\frac{ln 9}{ln 2}(=\frac{3ln 9}{3ln 2}=\frac{3ln 9}{ln 8})$

$\iff \frac{ln 10}{ln 9}+\frac{ln 11}{ln 10}<\frac{2ln 9}{ln 8}$.

Đến đây ta có nhận xét rằng: $\frac{ln 10}{ln 9}<\frac{ln 9}{ln 8}$ (đúng do hàm ln() là hàm đồng biến và $\frac{10}{9}<\frac{9}{8}$). (1)

Tương tự ta cũng có $\frac{ln 11}{ln 10}<\frac{ln 9}{ln 8}$ (đúng do hàm ln() là hàm đồng biến và $\frac{11}{10}<\frac{9}{8}$) (2)

Cộng $(1)$ và $(2)$ vế theo vế ta có điều phải chứng minh.

 

Bài 2: Ta có: $\frac{1}{log_{n}{2010}}=log_{2010}{(n)}=\frac{ln(n)}{ln(2010)}$.

Do đó ta sẽ tính được: $a=\frac{1}{ln(2010)}.ln(11.12.13.14.24)$ và $b=\frac{1}{ln(2010)}.ln(63.64.65.66.67)$

$\implies M=a-b=\frac{1}{ln(2010)}.ln(\frac{11.12.13.14.24}{63.64.65.66.67})=\frac{1}{ln(2010)}.ln(\frac{1}{2010})=\frac{-ln(2010)}{ln(2010)}=-1$.

Bài 3: Từ giả thiết, ta có: $log_{a}(x)=1+log_{a}(x).log_{a}(z)=log_{a}(x).log_{x}(a)+log_{a}(x).log_{a}(z)=log_{a}(x)[log_{x}(a)+log_{a}(z)]=log_{a}(x).log_{x}(z)(1)$.

Do $x\ne 1$ nên $\log_{a}(x)\ne 0$ nên từ (1) ta suy ra được $log_{x}(z)=1\implies x=z$.

Tương tự ta biến đổi giả thiết 2, ta được $x=y$.

Từ hai điều trên ta suy ra được $x=y=z$.

Lúc này ta có:

$A=(log_{\frac{a}{x}}(x).log_{x}(a))^3=(log_{\frac{a}{x}}(a))^3=(\frac{1}{log_{a}(\frac{a}{x})})^3=(\frac{1}{1-log_{a}(x)})^3$


  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.
  • Bồ-đề-đạt-ma là đệ tử và truyền nhân của Tổ thứ 27, Bát-nhã-đa-la (sa. prajñādhāra) và là thầy của Huệ Khả, Nhị tổ Thiền Trung Quốc. Sự tích truyền pháp của Bát-nhã-đa-la cho Bồ-đề-đạt-ma được truyền lại như sau:

    Tổ hỏi: "Trong mọi thứ, thứ gì vô sắc?" Bồ-đề-đạt-ma đáp: "Vô sinh vô sắc". Tổ hỏi tiếp: "Trong mọi thứ, cái gì vĩ đại nhất?" Bồ-đề-đạt-ma đáp: "Phật pháp vĩ đại nhất".

#3 Tantran2510

Tantran2510

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 43 Bài viết

Đã gửi 31-01-2020 - 16:19

Cả ba bài này đều dùng một công thức biến đổi quen thuộc trong logarit đó là : Với điều kiện xác định, ta luôn có: $log_{a}(b)=\frac{ln(b)}{ln(a)}$ 

Áp dụng điều này vào các bài toán trên:

Bài 1: Ta có: $log_{8}9+log_{9}10+log_{10}{11}<2log_2{3}$

$\iff \frac{ln 9}{ln 8}+\frac{ln 10}{ln 9}+\frac{ln 11}{ln 10}<\frac{ln 9}{ln 2}(=\frac{3ln 9}{3ln 2}=\frac{3ln 9}{ln 8})$

$\iff \frac{ln 10}{ln 9}+\frac{ln 11}{ln 10}<\frac{2ln 9}{ln 8}$.

Đến đây ta có nhận xét rằng: $\frac{ln 10}{ln 9}<\frac{ln 9}{ln 8}$ (đúng do hàm ln() là hàm đồng biến và $\frac{10}{9}<\frac{9}{8}$). (1)

Tương tự ta cũng có $\frac{ln 11}{ln 10}<\frac{ln 9}{ln 8}$ (đúng do hàm ln() là hàm đồng biến và $\frac{11}{10}<\frac{9}{8}$) (2)

Cộng $(1)$ và $(2)$ vế theo vế ta có điều phải chứng minh.

 

Bài 2: Ta có: $\frac{1}{log_{n}{2010}}=log_{2010}{(n)}=\frac{ln(n)}{ln(2010)}$.

Do đó ta sẽ tính được: $a=\frac{1}{ln(2010)}.ln(11.12.13.14.24)$ và $b=\frac{1}{ln(2010)}.ln(63.64.65.66.67)$

$\implies M=a-b=\frac{1}{ln(2010)}.ln(\frac{11.12.13.14.24}{63.64.65.66.67})=\frac{1}{ln(2010)}.ln(\frac{1}{2010})=\frac{-ln(2010)}{ln(2010)}=-1$.

Bài 3: Từ giả thiết, ta có: $log_{a}(x)=1+log_{a}(x).log_{a}(z)=log_{a}(x).log_{x}(a)+log_{a}(x).log_{a}(z)=log_{a}(x)[log_{x}(a)+log_{a}(z)]=log_{a}(x).log_{x}(z)(1)$.

Do $x\ne 1$ nên $\log_{a}(x)\ne 0$ nên từ (1) ta suy ra được $log_{x}(z)=1\implies x=z$.

Tương tự ta biến đổi giả thiết 2, ta được $x=y$.

Từ hai điều trên ta suy ra được $x=y=z$.

Lúc này ta có:

$A=(log_{\frac{a}{x}}(x).log_{x}(a))^3=(log_{\frac{a}{x}}(a))^3=(\frac{1}{log_{a}(\frac{a}{x})})^3=(\frac{1}{1-log_{a}(x)})^3$

dạ em xin cảm ơn anh ạ ! nhưng em không hiểu 1 chỗ ở bài 3 là : $\log_a(x) [\log_x(a) + \log_a(z)]= \log_a(x).\log_x(z)$

Trong ngoặc dấu cộng mà ạ ? :wacko:



#4 Tantran2510

Tantran2510

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 43 Bài viết

Đã gửi 31-01-2020 - 16:37

Cả ba bài này đều dùng một công thức biến đổi quen thuộc trong logarit đó là : Với điều kiện xác định, ta luôn có: $log_{a}(b)=\frac{ln(b)}{ln(a)}$ 

Áp dụng điều này vào các bài toán trên:

Bài 1: Ta có: $log_{8}9+log_{9}10+log_{10}{11}<2log_2{3}$

$\iff \frac{ln 9}{ln 8}+\frac{ln 10}{ln 9}+\frac{ln 11}{ln 10}<\frac{ln 9}{ln 2}(=\frac{3ln 9}{3ln 2}=\frac{3ln 9}{ln 8})$

$\iff \frac{ln 10}{ln 9}+\frac{ln 11}{ln 10}<\frac{2ln 9}{ln 8}$.

Đến đây ta có nhận xét rằng: $\frac{ln 10}{ln 9}<\frac{ln 9}{ln 8}$ (đúng do hàm ln() là hàm đồng biến và $\frac{10}{9}<\frac{9}{8}$). (1)

Tương tự ta cũng có $\frac{ln 11}{ln 10}<\frac{ln 9}{ln 8}$ (đúng do hàm ln() là hàm đồng biến và $\frac{11}{10}<\frac{9}{8}$) (2)

Cộng $(1)$ và $(2)$ vế theo vế ta có điều phải chứng minh.

 

Bài 2: Ta có: $\frac{1}{log_{n}{2010}}=log_{2010}{(n)}=\frac{ln(n)}{ln(2010)}$.

Do đó ta sẽ tính được: $a=\frac{1}{ln(2010)}.ln(11.12.13.14.24)$ và $b=\frac{1}{ln(2010)}.ln(63.64.65.66.67)$

$\implies M=a-b=\frac{1}{ln(2010)}.ln(\frac{11.12.13.14.24}{63.64.65.66.67})=\frac{1}{ln(2010)}.ln(\frac{1}{2010})=\frac{-ln(2010)}{ln(2010)}=-1$.

Bài 3: Từ giả thiết, ta có: $log_{a}(x)=1+log_{a}(x).log_{a}(z)=log_{a}(x).log_{x}(a)+log_{a}(x).log_{a}(z)=log_{a}(x)[log_{x}(a)+log_{a}(z)]=log_{a}(x).log_{x}(z)(1)$.

Do $x\ne 1$ nên $\log_{a}(x)\ne 0$ nên từ (1) ta suy ra được $log_{x}(z)=1\implies x=z$.

Tương tự ta biến đổi giả thiết 2, ta được $x=y$.

Từ hai điều trên ta suy ra được $x=y=z$.

Lúc này ta có:

$A=(log_{\frac{a}{x}}(x).log_{x}(a))^3=(log_{\frac{a}{x}}(a))^3=(\frac{1}{log_{a}(\frac{a}{x})})^3=(\frac{1}{1-log_{a}(x)})^3$

Bài 1 và 2 của anh giải rất hay ạ ^^ còn bài 3 em có cách giải khác anh xem hộ em với

Bài 3:

Từ giả thiết : $1-log_ax = -log_ax.log_az$

$1 - log_ay = - log_ay.log_ax$

$1 - log_az = \frac{1}{log_ax}$

$log_ay= 1+ log_ay.log_ax = 1+ log_ay.(1+log_ax.log_az)=1+ log_ay + log_ax.log_ay.log_az \Rightarrow log_ax.log_ay.log_az = -1$

Biến đổi : $A= (log_{\frac{a}{x}}x.log_{x}a).(log_{\frac{a}{y}}y.log_ya).(log_{\frac{a}{z}}z.log_za) = log_{\frac{a}{x}}a.log_{\frac{a}{y}}a.log_{\frac{a}{z}}a= \frac{1}{log_a\frac{a}{x}.log_a\frac{a}{y}.log_a\frac{a}{z}}= \frac{1}{(1-log_ax).(1-log_ay).(1-log_az)}= \frac{1}{log_ax.log_az.log_ay.log_ax.\frac{1}{log_ax}}= \frac{1}{log_ax.log_ay.log_az} = -1$

Em có tìm thử bài này trên mạng và đè trên mạng nó bảo chứng minh A=1 nên không chắc phần kết quả ạ  :(



#5 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1736 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 31-01-2020 - 18:01

Bài 1 và 2 của anh giải rất hay ạ ^^ còn bài 3 em có cách giải khác anh xem hộ em với

Bài 3:

Từ giả thiết : $1-log_ax = -log_ax.log_az$

$1 - log_ay = - log_ay.log_ax$

$1 - log_az = \frac{1}{log_ax}$

$log_ay= 1+ log_ay.log_ax = 1+ log_ay.(1+log_ax.log_az)=1+ log_ay + log_ax.log_ay.log_az \Rightarrow log_ax.log_ay.log_az = -1$

Biến đổi : $A= (log_{\frac{a}{x}}x.log_{x}a).(log_{\frac{a}{y}}y.log_ya).(log_{\frac{a}{z}}z.log_za) = log_{\frac{a}{x}}a.log_{\frac{a}{y}}a.log_{\frac{a}{z}}a= \frac{1}{log_a\frac{a}{x}.log_a\frac{a}{y}.log_a\frac{a}{z}}= \frac{1}{(1-log_ax).(1-log_ay).(1-log_az)}= \frac{1}{log_ax.log_az.log_ay.log_ax.\frac{1}{log_ax}}= \frac{1}{log_ax.log_ay.log_az} = -1$

Em có tìm thử bài này trên mạng và đè trên mạng nó bảo chứng minh A=1 nên không chắc phần kết quả ạ  :(

Uhm ha, câu 3 anh giải bị sai mất rồi !

Câu 3, em làm lại đúng rồi đó ! Anh kiểm tra rồi, không thấy chỗ nào bị sai cả !


  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.
  • Bồ-đề-đạt-ma là đệ tử và truyền nhân của Tổ thứ 27, Bát-nhã-đa-la (sa. prajñādhāra) và là thầy của Huệ Khả, Nhị tổ Thiền Trung Quốc. Sự tích truyền pháp của Bát-nhã-đa-la cho Bồ-đề-đạt-ma được truyền lại như sau:

    Tổ hỏi: "Trong mọi thứ, thứ gì vô sắc?" Bồ-đề-đạt-ma đáp: "Vô sinh vô sắc". Tổ hỏi tiếp: "Trong mọi thứ, cái gì vĩ đại nhất?" Bồ-đề-đạt-ma đáp: "Phật pháp vĩ đại nhất".

#6 Tantran2510

Tantran2510

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 43 Bài viết

Đã gửi 31-01-2020 - 19:37

Uhm ha, câu 3 anh giải bị sai mất rồi !

Câu 3, em làm lại đúng rồi đó ! Anh kiểm tra rồi, không thấy chỗ nào bị sai cả !

em cảm ơn anh ạ 







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: logarit, mũ

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh