2 replies to this topic

[lukaschan22]

Sử dụng vô cùng bé, tính giới hạn: $\lim_{x\rightarrow 0}\left (\frac{1+sinxcos2x}{1+sinxcos3x} \right )^{cot^3x}$

Edited by lukaschan22, 23-10-2021 - 19:53.

[vietAnh09]

[Thegooobs]

Sử dụng vô cùng bé, tính giới hạn: $\lim_{x\rightarrow 0}\left (\frac{1+sinxcos2x}{1+sinxcos3x} \right )^{cot^3x}$

Dạng vô định: $1^{\infty}$ nên ta sẽ chuyển về dạng $1^{\infty}=e^{\ln 1^{\infty}}=e^{0\cdot\infty}$

Đặt giới hạn cần tính là $I$

$$I=\lim_{x \to 0}e^{\cot^3x\cdot\ln\left(\frac{1+\sin(x)\cdot\cos(2x)}{1+\sin(x)\cdot\cos(3x)}\right)}$$

Lúc này tính giới hạn của mũ:

Trong đây có sử dụng các vô cùng bé tương đương dành cho hàm hợp:

$$\sin u \sim u , \ln(1+u) \sim u \ \text{khi}\  x \to a \ \text{nếu} \  u \to 0 \ \text{và} \ u \ne 0 \ \text{khi}\  x \to a$$

và công thức lượng giác quen thuộc
$$\cos(x)-\cos(y)=-2\sin\left(\dfrac{x+y}{2}\right)\cdot\sin\left(\dfrac{x-y}{2}\right)$$

\begin{align*}M=\lim_{x \to 0}\cot^3x\cdot\ln\left(\frac{1+\sin(x)\cdot\cos(2x)}{1+\sin(x)\cdot\cos(3x)}\right) & =\lim_{x \to 0}\dfrac{\cos^3x\cdot\ln\left(1+\dfrac{1+\sin(x)\cdot\cos(2x)}{1+\sin(x)\cdot\cos(3x)}-1\right)}{\sin^3x} \\&=\lim_{x \to 0}\dfrac{\dfrac{1+\sin(x)\cdot\cos(2x)}{1+\sin(x)\cdot\cos(3x)}-1}{\sin^3x}\\ &=\lim_{x \to 0}\dfrac{\cos(2x)-\cos(3x)}{\left(1+\sin(x)\cdot\cos(3x)\right)\cdot\sin^2(x)}\\&=\lim_{x \to 0}\dfrac{2\sin\left(\dfrac{5x}{2}\right)\cdot\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\sin^2(x)}=\lim_{x \to 0}\dfrac{2\cdot\dfrac{5x}{2}\cdot\dfrac{x}{2}}{x^2}=\dfrac{5}{2}\end{align*}

Vậy $I=e^M=e^\frac{5}{2}$