Chủ đề này có 1 trả lời

[Just4Mgl]

Cho x,y,z>0, tìm Min:
P=$x^2+y^2+z^2+\frac{x^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{z^2+x^2}-\frac{7}{6}(x+y+z)+2021$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Just4Mgl: 25-10-2021 - 19:44

[Hoang72]

Ta có $\sum_{cyc}\frac{x^3}{x^2+y^2}=\sum_{cyc}\left ( x-\frac{xy^2}{x^2+y^2} \right )\geq \sum_{cyc}\left ( x-\frac{xy^2}{2xy} \right )=\frac{1}{2}\sum x$.

Lại có $x^2+y^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}$.

Suy ra $P\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}-\frac{2(x+y+z)}{3}+2021=\frac{(x+y+z-1)^2}{3}+\frac{6062}{3}\geq \frac{6062}{3}$.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=\frac{1}{3}$.