Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Số đại số nguyên


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 phongmaths

phongmaths

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 82 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh Hóa
  • Sở thích:xem anime, làm toán, chơi game, đọc sách

Đã gửi 02-02-2020 - 11:48

Mọi người cho hỏi là số đại số nguyên là gì ? và tính ứng dụng của nó



#2 Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 538 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 17-03-2020 - 21:25



Mọi người cho hỏi là số đại số nguyên là gì ? và tính ứng dụng của nó

Khái niệm số nguyên đại số là mở rộng của định nghĩa số nguyên trong $\mathbb{Z}.$ Chẳng hạn có thể định nghĩa một số nguyên đại số là một nghiệm của phương trình đa thức monic hệ số nguyên. Một ứng dụng: có thể giải các phương trình nghiệm nguyên trong các mở rộng này vì chúng vẫn có một số tính chất số học như $\mathbb{Z},$ rồi từ đó giải được phương trình ban đầu. Một ví dụ:

 

Giải phương trình nghiệm nguyên $x^2+1=y^3.$ Ta biết rằng tập $\mathbb{Z}[i]=\left\{a+bi\mid a,b\in \mathbb{Z}\right\}$ có định lý cơ bản của số học giống như $\mathbb{Z},$ (để ý rằng mọi phần tử của $\mathbb{Z}[i]$ là nghiệm của một đa thức monic hệ số nguyên) nên ta giải như sau. Viết lại phương trình trên thành $(x+i)(x-i)=y^3.$ Trong trường hợp $x+i$ và $x-i$ nguyên tố cùng nhau, ta có $x+i=(a+bi)^3$ nên $x=a^3-3ab^2,1=3a^2b-b^3.$ Từ đây ta giải ra $a,b$ rồi $x,y.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 17-03-2020 - 21:28


#3 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1559 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Geometry and Topology

Đã gửi 17-03-2020 - 21:31



Khái niệm số nguyên đại số là mở rộng của định nghĩa số nguyên trong $\mathbb{Z}.$ Chẳng hạn có thể định nghĩa một số nguyên đại số là một nghiệm của phương trình đa thức monic hệ số nguyên. Một ứng dụng: có thể giải các phương trình nghiệm nguyên trong các mở rộng này vì chúng vẫn có một số tính chất số học như $\mathbb{Z},$ rồi từ đó giải được phương trình ban đầu. Một ví dụ:

 

Giải phương trình nghiệm nguyên $x^2+1=y^3.$ Ta biết rằng tập $\mathbb{Z}[i]=\left\{a+bi\mid a,b\in \mathbb{Z}\right\}$ có định lý cơ bản của số học giống như $\mathbb{Z},$ (để ý rằng mọi phần tử của $\mathbb{Z}[i]$ là nghiệm của một đa thức monic hệ số nguyên) nên ta giải như sau. Viết lại phương trình trên thành $(x+i)(x-i)=y^3.$ Trong trường hợp $x+i$ và $x-i$ nguyên tố cùng nhau, ta có $x+i=(a+bi)^3$ nên $x=a^3-3ab^2,1=3a^2b-b^3.$ Từ đây ta giải ra $a,b$ rồi $x,y.$

Em không rõ lắm về bên lý thuyết số. Nhưng các cái vành $\mathbb{Z}[\sqrt{d}] (d \in \mathbb{Z})$ có tính chất như nào? Ví dụ Noether, PID hay UFD gì đó?


Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#4 Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 538 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-03-2020 - 22:51

Các vành này nói chung là Noether. Tổng quát hơn một cấp (order) của mở rộng hữu hạn $K/\mathbb{Q}$ là một vành con của $K$ sao cho nó là một nhóm aben tự do sinh bởi một cơ sở của $K/\mathbb{Q}.$ Trong trường hợp này, $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ là một cấp của mở rộng $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]/mathbb{Q}.$ Các cấp luôn là Noether do chúng là kiểu hữu hạn trên $\mathbb{Z}$ và do đồng thời là hữu hạn trên $\mathbb{Z}$ nên chúng là nguyên trên $\mathbb{Z}$. Do $\mathbb{Z}$ chiều 1 nên điều này dẫn tới cấp có chiều 1. Nếu cấp là đóng nguyên, ta cũng nói rằng cấp là miền Dedekind và miền Dedekind có tính chất mọi ideal phân tích duy nhất thành tích các ideal nguyên tố. 

 

Em không rõ lắm về bên lý thuyết số. Nhưng các cái vành $\mathbb{Z}[\sqrt{d}] (d \in \mathbb{Z})$ có tính chất như nào? Ví dụ Noether, PID hay UFD gì đó?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 20-03-2020 - 22:55





3 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh