Đến nội dung

Hình ảnh

C/m bộ ba số $(ap^2;bq^2;cr^2)$ cũng là nghiệm của phương trình $\frac{x^2}{yz}+\frac{y^2}{zx}+\frac{z^2}{xy}=3$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
alexander123

alexander123

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 20 Bài viết

Giả sử phương trình
$\frac{x^2}{yz}+\frac{y^2}{zx}+\frac{z^2}{xy}=3$ có 3 nghiệm là bộ ba số ko đồng thời bằng nhau $(a;b;c);\left(\frac{a}{p};\frac{b}{q};\frac{c}{r} \right);(p;q;r)$
C/m bộ ba số $(ap^2;bq^2;cr^2)$ cũng là nghiệm của phương trình trên

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 26-10-2021 - 00:56
Tiêu đề + LaTeX


#2
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Nhận thấy nếu $(x,y,z)$ là một bộ nghiệm có ba số không đồng thời bằng nhau của phương trình trên thì $x^3+y^3+z^3=3xyz\Leftrightarrow x+y+z=0$.

Khi đó $a+b+c=0;\frac{a}{p}+\frac{b}{q}+\frac{c}{r}=0;p+q+r=0$.

Ta ó $ap^2+bq^2+cr^2=(a+b+c)(p^2+q^2+r^2)-a(q^2+r^2)-b(r^2+p^2)-c(p^2+q^2)=-a(q+r)^2-b(r+p^2)-c(p+q)^2+2qra+2rpb+2pqc=-ap^2-bq^2-cr^2\Rightarrow ap^2+bq^2+cr^2=0$.






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh