Chủ đề này có 4 trả lời

[Just4Mgl]

Cho x,y,z $\epsilon$ [0;1], tìm Max:

T=$\frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{z+x+1}+\frac{z}{x+y+1}+(1-x)(1-y)(2-z)$

[Hoang72]

Trước tiên ta sẽ tìm Max $S=\frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{z+x+1}+\frac{z}{x+y+1}+(1-x)(1-y)(1-z)$.

Nhận thấy $S$ là biểu thức đối xứng với ba biến $x,y,z$ nên ta có thể giả sử $x\geq y\geq z$.

Khi đó $S\leq \frac{x+y+z}{y+z+1}=1-\frac{1-x}{y+z+1}+(1-x)(1-y)(1-z)$.

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có $(1-y)(1-z)(y+z+1)\leq 1\Rightarrow S\leq 1$.

Đẳng thức xảy ra khi chẳng hạn $y=z=0;x=1$ và các hoán vị.

Khi đó $T=S+(1-x)(1-y)\leq S+1\leq 2$.

Đẳng thức xảy ra khi chẳng hạn $x=y=z=0$.

 

[Just4Mgl]

Trước tiên ta sẽ tìm Max $S=\frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{z+x+1}+\frac{z}{x+y+1}+(1-x)(1-y)(1-z)$.

Nhận thấy $S$ là biểu thức đối xứng với ba biến $x,y,z$ nên ta có thể giả sử $x\geq y\geq z$.

Khi đó $S\leq \frac{x+y+z}{y+z+1}=1-\frac{1-x}{y+z+1}+(1-x)(1-y)(1-z)$.

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có $(1-y)(1-z)(y+z+1)\leq 1\Rightarrow S\leq 1$.

Đẳng thức xảy ra khi chẳng hạn $y=z=0;x=1$ và các hoán vị.

Khi đó $T=S+(1-x)(1-y)\leq S+1\leq 2$.

Đẳng thức xảy ra khi chẳng hạn $x=y=z=0$.

Khi đó $S\leq \frac{x+y+z}{y+z+1}=1-\frac{1-x}{y+z+1}+(1-x)(1-y)(1-z)$.

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có $(1-y)(1-z)(y+z+1)\leq 1\Rightarrow S\leq 1$.

Đoạn này mình không hiểu lắm, bạn giải thích kĩ được không?

[Hoang72]

 

Khi đó $S\leq \frac{x+y+z}{y+z+1}=1-\frac{1-x}{y+z+1}+(1-x)(1-y)(1-z)$.

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có $(1-y)(1-z)(y+z+1)\leq 1\Rightarrow S\leq 1$.

Đoạn này mình không hiểu lắm, bạn giải thích kĩ được không?

 

$(1-y)(1-z)(y+z+1)\leq \left(\frac{1-y+1-z+y+z+1}{3}\right)^3=1\Rightarrow \frac{1-x}{y+z+1}\geq (1-x)(1-y)(1-z)\Rightarrow S\leq 1$

[Just4Mgl]

$(1-y)(1-z)(y+z+1)\leq \left(\frac{1-y+1-z+y+z+1}{3}\right)^3=1\Rightarrow \frac{1-x}{y+z+1}\geq (1-x)(1-y)(1-z)\Rightarrow S\leq 1$

ok cảm ơn bạn