Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm tất cả $n\in \mathbb{N}^*$ sao cho $a_{n}-1$ là số chính phương.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 toanND

toanND

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 63 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Du
  • Sở thích:bóng đá

Đã gửi 02-02-2020 - 22:58

Cho dãy số $(a_{n})$ xác định bởi $a_{0}=1,a_{1}=2,a_{n+2}=4a_{n+1}-a_{n}$. Tìm tất cả $n\in \mathbb{N}^*$ sao cho $a_{n}-1$ là số chính phương.


______________ :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :lol: ______________

         


#2 Arthur Pendragon

Arthur Pendragon

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Phòng, Việt Nam
  • Sở thích:Toán học, Harry Potter và Da LAB.

Đã gửi 02-09-2020 - 22:09

Ta tìm được công thức tổng quát của $(a_n)$ là $a_n=\frac{1}{2}\left[\left(2+\sqrt{3}\right)^n+\left(2-\sqrt{3}\right)^n\right]=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{(1+\sqrt{3})^2}{2}\right)^n+\left(\frac{(1-\sqrt{3})^2}{2}\right)^n\right]$. Do đó $a_n-1=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}\right)^n-\left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}\right)^n\right]^2=\frac{1}{2^{n+1}}[(\sqrt{3}+1)^n-(\sqrt{3}-1)^n]^2=\frac{b_n^2}{2^{n+1}}$ với $b_n=(\sqrt{3}+1)^n-(\sqrt{3}-1)^n$. Nếu n chẵn thì $b_n=\sqrt{3}c_n$, với $c_n$ nguyên.

Do đó $a_n-1=\frac{3c_n^2}{2^{n+1}}$. Dễ thấy rằng do n chẵn nên $v_3(a_n-1)$ lẻ, do vậy $a_n-1$ không là số chính phương.

Nếu $n$ lẻ thì $b_n$ là số nguyên, do đó $a_n-1=\frac{b_n^2}{2^{n+1}}$ là số chính phương.

Vậy với n lẻ thì $a_n-1$ là số chính phương.


"After all this time?"

"Always.."      





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh