Tam giác $ABC$, phân giác $AD$ có trung điểm là $E$, $G=(AC) \cap BE$. Chứng minh $\angle GAC= \angle GED$.
Chứng minh $\angle GAC= \angle GED$
#1
Đã gửi 30-10-2021 - 12:05
#2
Đã gửi 30-10-2021 - 16:46
Tam giác $ABC$, phân giác $AD$ có trung điểm là $E$, $G=(AC) \cap BE$. Chứng minh $\angle GAC= \angle GED$.
Gọi $I,J,M$ lần lượt là tâm nội tiếp, tâm bàng tiếp góc $A$ của tam giác $ABC$ và điểm giữa cung $BC$ không chứa $A$ của tam giác $ABC$.
Gọi $K$ là trung điểm $AC$, $(BIC)$ cắt $BE$ tại $G'$.
Ta có $(AD,IJ)=-1$ nên theo Hệ thức Newton, $EA^{2}=ED^{2}=\overline{EI}\cdot\overline{EJ}=\overline{EG'}\cdot\overline{EB}$.
Ta có biến đổi góc $\angle AG'C=\angle AG'E+\angle EG'C=\angle BAE+90^{\circ}-\frac{\angle BAC}{2}=90^{\circ}$.
Do đó $G'$ trùng $G$. Từ đây dễ thấy $KM\parallel AG$.
Lại có $\triangle ABD\sim \triangle AMC$ nên $\triangle BED\sim \triangle MKC$.
Do đó $\angle GAC=\angle MKC=\angle BED=\angle GED$.
Bài toán kết thúc. $\square$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 31-10-2021 - 08:45
- Hoang72, Serine và pntoi oni10420 thích
#3
Đã gửi 30-10-2021 - 23:19
PS: Bạn thông cảm tôi không biết cách chèn ảnh vào post. Nếu được bạn có thể chỉ tôi để tôi thêm vào. Cảm ơn.
Cám ơn anh
Em thì:
Sử dụng bộ soạn thảo đầy đủ -> chọn tệp -> đính kèm file này -> trả lời
#4
Đã gửi 30-10-2021 - 23:50
Gọi $I,J,M$ lần lượt là tâm nội tiếp, tâm bàng tiếp góc $A$ của tam giác $ABC$ và điểm giữa cung $BC$ không chứa $A$ của tam giác $ABC$.
Gọi $K$ là trung điểm $AC$, $(BIC)$ cắt $BE$ tại $G'$.
Ta có $(AD,IJ)=-1$ nên theo Hệ thức Newton, $EA^{2}=ED^{2}=\overline{EI}\cdot\overline{EJ}=\overline{EG'}\cdot\overline{EB}$.
Ta có biến đổi góc $\angle AG'C=\angle AG'E+\angle EG'C=\angle BAE+90^{\circ}-\frac{\angle BAC}{2}=90^{\circ}$.
Do đó $G'$ trùng $G$.
**
Từ đây dễ thấy $KM\parallel AG$.
Lại có $\triangle ABD\sim \triangle AMC$ nên $\triangle BED\sim \triangle MKC$.
Do đó $\angle GAC=\angle MKC=\angle BED=\angle GED$.
Bài toán kết thúc. $\square$
PS: Bạn thông cảm tôi không biết cách chèn ảnh vào post. Nếu được bạn có thể chỉ tôi để tôi thêm vào. Cảm ơn.
Em làm tiếp khúc ** như này ngắn hơn, a xem thử
Có $\angle GAE+\angle AGE=\angle GAE+\angle EAC$
$\implies \angle BED= \angle GAC$
#5
Đã gửi 31-10-2021 - 21:39
Ngược lại: Tam giác $AGC$ vuông tại $G$. Lấy điểm $E$ trong tam giác sao cho $\angle AEG=180-\angle GAC$, $D$ đối xứng $A$ qua $E$. $B=EG\cap CD$
Chứng minh $AD$ là phân giác $BAC$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Serine: 01-11-2021 - 07:11
- pntoi oni10420 yêu thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh