Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $\angle GAC= \angle GED$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Serine

Serine

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 91 Bài viết

Tam giác $ABC$, phân giác $AD$ có trung điểm là $E$, $G=(AC) \cap BE$. Chứng minh $\angle GAC= \angle GED$.

Hình gửi kèm

  • 1timeuse.PNG


#2
PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 197 Bài viết

Tam giác $ABC$, phân giác $AD$ có trung điểm là $E$, $G=(AC) \cap BE$. Chứng minh $\angle GAC= \angle GED$.

Gọi $I,J,M$ lần lượt là tâm nội tiếp, tâm bàng tiếp góc $A$ của tam giác $ABC$ và điểm giữa cung $BC$ không chứa $A$ của tam giác $ABC$.

Gọi $K$ là trung điểm $AC$, $(BIC)$ cắt $BE$ tại $G'$.

Ta có $(AD,IJ)=-1$ nên theo Hệ thức Newton, $EA^{2}=ED^{2}=\overline{EI}\cdot\overline{EJ}=\overline{EG'}\cdot\overline{EB}$.

Ta có biến đổi góc $\angle AG'C=\angle AG'E+\angle EG'C=\angle BAE+90^{\circ}-\frac{\angle BAC}{2}=90^{\circ}$.

Do đó $G'$ trùng $G$. Từ đây dễ thấy $KM\parallel AG$.

Lại có $\triangle ABD\sim \triangle AMC$ nên $\triangle BED\sim \triangle MKC$.

Do đó $\angle GAC=\angle MKC=\angle BED=\angle GED$.

Bài toán kết thúc. $\square$

 

 

Hình gửi kèm

  • figure.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 31-10-2021 - 08:45


#3
Serine

Serine

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 91 Bài viết

PS: Bạn thông cảm tôi không biết cách chèn ảnh vào post. Nếu được bạn có thể chỉ tôi để tôi thêm vào. Cảm ơn.

 

Cám ơn anh

Em thì:

Sử dụng bộ soạn thảo đầy đủ -> chọn tệp -> đính kèm file này -> trả lời



#4
Serine

Serine

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 91 Bài viết

Gọi $I,J,M$ lần lượt là tâm nội tiếp, tâm bàng tiếp góc $A$ của tam giác $ABC$ và điểm giữa cung $BC$ không chứa $A$ của tam giác $ABC$.

Gọi $K$ là trung điểm $AC$, $(BIC)$ cắt $BE$ tại $G'$.

Ta có $(AD,IJ)=-1$ nên theo Hệ thức Newton, $EA^{2}=ED^{2}=\overline{EI}\cdot\overline{EJ}=\overline{EG'}\cdot\overline{EB}$.

Ta có biến đổi góc $\angle AG'C=\angle AG'E+\angle EG'C=\angle BAE+90^{\circ}-\frac{\angle BAC}{2}=90^{\circ}$.

Do đó $G'$ trùng $G$.

**

Từ đây dễ thấy $KM\parallel AG$.

Lại có $\triangle ABD\sim \triangle AMC$ nên $\triangle BED\sim \triangle MKC$.

Do đó $\angle GAC=\angle MKC=\angle BED=\angle GED$.

Bài toán kết thúc. $\square$

 

PS: Bạn thông cảm tôi không biết cách chèn ảnh vào post. Nếu được bạn có thể chỉ tôi để tôi thêm vào. Cảm ơn.

Em làm tiếp khúc ** như này ngắn hơn, a xem thử

Có $\angle GAE+\angle AGE=\angle GAE+\angle EAC$

$\implies \angle BED= \angle GAC$



#5
Serine

Serine

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 91 Bài viết

Ngược lại: Tam giác $AGC$ vuông tại $G$. Lấy điểm $E$ trong tam giác sao cho $\angle AEG=180-\angle GAC$, $D$ đối xứng $A$ qua $E$. $B=EG\cap CD$

Chứng minh $AD$ là phân giác $BAC$

Hình gửi kèm

  • figure.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Serine: 01-11-2021 - 07:11





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh