Chủ đề này có 9 trả lời

[superbatman]

Cho $x, y$ là các số hữu tỉ thỏa mãn $x^3 - 2x = y^3 - 2y$. Chứng minh rằng $x  = y$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 30-10-2021 - 17:17
Tiêu đề + LaTeX

[nhancccp]

Cho $x, y$ là các số hữu tỉ thỏa mãn $x^3 - 2x = y^3 - 2y$. Chứng minh rằng $x  = y$

Giả sử $x=y$ khi đó $VT=x^3-2x=y^3-2y=VP$,vậy điều giả sử trên luôn đúng (đpcm)

[HaiDangPham]

Giả sử $x=y$ khi đó $VT=x^3-2x=y^3-2y=VP$,vậy điều giả sử trên luôn đúng (đpcm)

 

Yêu cầu của đề bài có nghĩa: Chứng minh với mọi $x, y$ hữu tỉ nếu thoả mãn $x^3-2x=y^3-2y$ thì $x=y$. 

 

Chứng minh của bạn là đi xét các giá trị $x, y$ sao cho $x=y$, thì hiển nhiên nó thoả mãn $x^3-2x=y^3-2y$. 

Nhưng với các giá trị $x, y$ sao cho $x \neq y$ thì sao? Liệu có tồn tại $x \neq y$ sao cho $x^3-2x=y^3-2y$? 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 22-07-2023 - 22:56

[nhancccp]

Yêu cầu của đề bài có nghĩa: Chứng minh với mọi $x, y$ thoả mãn $x^3-2x=y^3-2y$ thì $x=y$. 

 

Chứng minh của bạn là đi xét các giá trị $x, y$ sao cho $x=y$, thì hiển nhiên nó thoả mãn $x^3-2x=y^3-2y$. 

Nhưng với các giá trị $x, y$ sao cho $x \neq y$ thì sao? Liệu nếu $x \neq y$ thì $x^3-2x=y^3-2y$ có đúng? 

 Theo đề bài ta có $(x-y)(x^2+xy+y^2-2)=0$ $\Leftrightarrow$$x=y$ hoặc $x^2+xy+y^2-2=0$$\Leftrightarrow$  $x=y=2\sqrt{3}$(loại)

Vậy mà đó giờ em cứ nghĩ chứng minh như vậy 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhancccp: 22-07-2023 - 23:22

[nhancccp]

Yêu cầu của đề bài có nghĩa: Chứng minh với mọi $x, y$ hữu tỉ nếu thoả mãn $x^3-2x=y^3-2y$ thì $x=y$. 

 

Chứng minh của bạn là đi xét các giá trị $x, y$ sao cho $x=y$, thì hiển nhiên nó thoả mãn $x^3-2x=y^3-2y$. 

Nhưng với các giá trị $x, y$ sao cho $x \neq y$ thì sao? Liệu có tồn tại $x \neq y$ sao cho $x^3-2x=y^3-2y$?ẫn có 

 Có rất nhiều cặp $x\neq y$ thỏa mãn yêu cầu đề bài,sao cho $x^3-2x=a$ và $y^3-2y=a$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhancccp: 22-07-2023 - 23:14

[HaiDangPham]

 Có rất nhiều cặp $x\neq y$ thỏa mãn yêu cầu đề bài,sao cho $x^3-2x=a$ và $y^3-2y=a$ ví dụ như $x=0;y=1...$

 

Bạn chú ý là bài yêu cầu $x,y$ hữu tỉ, chính điều kiện đó ràng buộc $x=y$.

Ta sẽ phải chứng minh rằng không tồn tại  $x,y$ là các số hữu tỉ phân biệt sao cho $x^3-2x=y^3-2y$. Đây chính là chỗ hay và khó của bài toán này. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 22-07-2023 - 23:12

[nhancccp]

Bạn chú ý là bài yêu cầu $x,y$ hữu tỉ, chính điều kiện đó ràng buộc $x=y$.

Ta sẽ phải chứng minh rằng không tồn tại  $x,y$ là các số hữu tỉ phân biệt sao cho $x^3-2x=y^3-2y$. Đây chính là chỗ hay và khó của bài toán này. 

Dạo này mơ màng,đầu óc cứ như trên mây vậy,làm sai tới sai lui,mong thầy thông cảm.

[HaiDangPham]

Ta chứng minh phương trình $$x^2+xy+y^2=2$$ không có nghiệm hữu tỉ.

 

Đặt $s=x+y, t=xy$. Khi đó $s^2=t+2$. Xét phương trình ẩn $X$ nhận $x, y$ là hai nghiệm:  \begin{equation} X^2-sX+t=0. \end{equation} Phương trình này có $\Delta=s^2-4t=2-3t$. Để phương trình có nghiệm hữu tỉ thì $2-3t=z^2$ với $z$ là số hữu tỉ không âm.

Khi đó $t=\frac{2-z^2}{3}$, thay trở lại vào $s^2=t+2$ ta được $$ 3s^2+z^2=8$$ Đặt $s=\frac{s_1}{s_2}, z=\frac{z_1}{z_2}$ với $s_1, s_2, z_1, z_2$ là các số nguyên và $s_2,z_2 \neq 0$. Phương trình trên trở thành $$ 3(s_1z_2)^2+(z_1s_2)^2=8(s_2z_2)^2.$$ Lại đặt  $m=s_1z_2, n=z_1s_2, p=s_2z_2$ khi đó \begin{equation} 3m^2=8p^2-n^2.\end{equation}

Từ phương trình trên ta suy ra $3|8p^2-n^2$. Mà một số chính phương chia $3$ chỉ có thể dư $0$ hoặc $1$ nên ta phải có $n, p$ cùng chia hết cho $3$. Từ đây $9|3m^2$ nên $m$ cũng phải chia hết cho $3$. 

 

Đặt $m=3^{\alpha}m_1, n=3^{\beta}n_1, p=3^{\gamma}p_1$ trong đó $m_1, n_1, p_1$ đều nguyên tố cùng nhau với $3$. Thay vào phương trình trên ta được \begin{equation} 3^{2\alpha+1}m_1^2=8.3^{2\gamma}p_1^2-3^{2\beta}n_1^2 \end{equation} 

Nếu $\gamma \geq \beta$ khi đó vế phải của phương trình trên viết lại dưới dạng $3^{2\beta}.[8.3^{2(\gamma -\beta)}p_1^2-n_1^2]$.

Vì $n_1, p_1$ nguyên tố cùng nhau với $3$ nên $n_1^2 \equiv p_1^2 \equiv 1 \pmod{3}$. Suy ra $$8.3^{2(\gamma-\beta)}p_1^2-n_1^2 \equiv 8.3^{2(\gamma -\beta)}-1 \equiv \pm 1 \pmod{3} $$

Như vậy $m_1^2$ và $8.3^{2(\gamma -\beta)}p_1^2-n_1^2$ đều nguyên tố cùng nhau với $3$. Do đó $3^{2\alpha+1}=3^{2\beta}$, vô lý. 

 

Tương tự trường hợp $\gamma < \beta$ ta cũng dẫn tới điều vô lý là  $3^{2\alpha+1}=3^{2\gamma}$. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 23-07-2023 - 10:53

[nhancccp]

Ta chứng minh phương trình $$x^2+xy+y^2=2$$ không có nghiệm hữu tỉ.

 

Đặt $s=x+y, t=xy$. Khi đó $s^2=t+2$. Xét phương trình ẩn $X$ nhận $x, y$ là hai nghiệm:  \begin{equation} X^2-sX+t=0. \end{equation} Phương trình này có $\Delta=s^2-4t=2-3t$. Để phương trình có nghiệm hữu tỉ thì $2-3t=z^2$ với $z$ là số hữu tỉ không âm.

Khi đó $t=\frac{2-z^2}{3}$, thay trở lại vào $s^2=t+2$ ta được $$ 3s^2+z^2=8$$ Đặt $s=\frac{s_1}{s_2}, z=\frac{z_1}{z_2}$ với $s_1, s_2, z_1, z_2$ là các số nguyên và $s_2,z_2 \neq 0$. Phương trình trên trở thành $$ 3(s_1z_2)^2+(z_1s_2)^2=8(s_2z_2)^2.$$ Lại đặt  $m=s_1z_2, n=z_1s_2, p=s_2z_2$ khi đó \begin{equation} 3m^2=8p^2-n^2.\end{equation}

Từ phương trình trên ta suy ra $3|8p^2-n^2$. Mà một số chính phương chia $3$ chỉ có thể dư $0$ hoặc $1$ nên ta phải có $n, p$ cùng chia hết cho $3$. Từ đây $9|3m^2$ nên $m$ cũng phải chia hết cho $3$. 

 

Đặt $m=3^{\alpha}m_1, n=3^{\beta}n_1, p=3^{\gamma}p_1$ trong đó $m_1, n_1, p_1$ đều nguyên tố cùng nhau với $3$. Thay vào phương trình trên ta được \begin{equation} 3^{2\alpha+1}m_1^2=8.3^{2\gamma}p_1^2-3^{2\beta}n_1^2 \end{equation} 

Nếu $\gamma \geq \beta$ khi đó vế phải của phương trình trên viết lại dưới dạng $3^{2\beta}.[8.3^{2(\gamma -\beta)}p_1^2-n_1^2]$.

Vì $n_1, p_1$ nguyên tố cùng nhau với $3$ nên $n_1^2 \equiv p_1^2 \equiv 1 \pmod{3}$. Suy ra $$8.3^{2(\gamma-\beta)}p_1^2-n_1^2 \equiv 8.3^{2(\gamma -\beta)}-1 \equiv \pm 1 \pmod{3} $$

Như vậy $m_1^2$ và $8.3^{2(\gamma -\beta)}p_1^2-n_1^2$ đều nguyên tố cùng nhau với $3$. Do đó $3^{2\alpha+1}=3^{2\beta}$, vô lý. 

 

Tương tự trường hợp $\gamma < \beta$ ta cũng dẫn tới điều vô lý là  $3^{2\alpha+1}=3^{2\gamma}$. 

Nếu tổng quát hơn ta có bài toán sau:

Cho $x;y$ là các số hữu tỷ thỏa mãn $x^n-2x=y^n-2y$ với n lẻ.Chứng minh rằng $x=y$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhancccp: 24-07-2023 - 14:37

[chuyenndu]

https://artofproblem...997468p13945667