Chủ đề này có 1 trả lời

[Khoinguyen2007]

Cho các số thực dương $a, b, c, d$. Chứng minh rằng

$$\frac{a^3+b^3}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}+\frac{b^3+c^3}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}+\frac{c^3+d^3}{\sqrt{c^2-cd+d^2}}+\frac{d^3+a^3}{\sqrt{d^2-da+a^2}} \geqslant 2(a^2+b^2+c^2+d^2).$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 31-10-2021 - 21:47
Tiêu đề

[KietLW9]

Ta có: $\frac{a^3+b^3}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}-(a^2+b^2)=\frac{\frac{(a^3+b^3)^2}{a^2-ab+b^2}-(a^2+b^2)^2}{\frac{a^3+b^3}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}+(a^2+b^2)}=\frac{\frac{ab(a-b)^2(a^2-ab+b^2)}{a^2-ab+b^2}}{\frac{a^3+b^3}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}+(a^2+b^2)}\geqslant 0$

$\Rightarrow \frac{a^3+b^3}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}\geqslant a^2+b^2$

Tương tự rồi cộng lại, ta được: 

$\frac{a^3+b^3}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}+\frac{b^3+c^3}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}+\frac{c^3+d^3}{\sqrt{c^2-cd+d^2}}+\frac{d^3+a^3}{\sqrt{d^2-da+a^2}} \geqslant 2(a^2+b^2+c^2+d^2)$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=d$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 31-10-2021 - 20:08