Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $\sum \frac{1}{a^3+b^3+abc} \leq \frac{1}{abc}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
KieranWilson

KieranWilson

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 32 Bài viết

Cho các số thực dương $a,b,c$

Chứng minh:

$\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc} \leq \frac{1}{abc}$



#2
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Dễ dàng có bất đẳng thức: $m^3+n^3\geqslant mn(m+n)$

$\Rightarrow \frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\leqslant \frac{1}{ab(a+b)+abc}+\frac{1}{bc(b+c)+abc}+\frac{1}{ca(c+a)+abc}=\frac{1}{a+b+c}(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})=\frac{1}{abc}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh