Chủ đề này có 1 trả lời

[cuong2255]

Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ và hai số nguyên dương $x, y$ sao cho $p^x + p^y$ là số chính phương.

 

[Hoang72]

Giả sử $x\leq y$.

Xét 2 TH:

+) $x=y$: Khi đó $2.p^x$ là số chính phương. Suy ra $2.p^x\vdots 4\Rightarrow p=2$.

Do dó $x$ lẻ. (thoả mãn)

+) $x<y$: Khi đó $p^x(p^{y-x}+1)$ là số chính phương.

Nhận thấy nếu x lẻ thì $(p^{y-x}+1)p^x\vdots p^{x+1}\Rightarrow 1\vdots p$. (vô lí)

Từ đó $x$ chẵn. Suy ra $p^{y-x}$ + 1 là số chính phương.

Đặt $a=y-x$ và $p^a+1=k^2(k\in\mathbb N^*)$.

Khi đó $(k-1)(k+1)=p^a$.

Do đó $k-1=p^s,k+1=p^v$ với $s,v\in\mathbb N;s<v$.

Nếu $s=0$ thì $k=2$. Từ đó $p=3;a=1$. Ta tìm được $p=3$, $x$ chẵn bất kì và $y=x+1$.

Nếu $s>0$ thì $k+1\vdots k-1\Rightarrow k=3$. Từ đó $p=2;a=3$. Ta tìm được $p=2$, $x$ chẵn bất kì, $y=x+3$.

Vậy, $(p,x,y)\in\{(2;2k;2k+3),(2;2k-1;2k-1),(3;2k;2k+1)\}$ với $k\in\mathbb N^*$ bất kì.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 06-11-2021 - 19:40