Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng $\sum{(\frac{a + b}{a - b})^{2022}} > \frac{2^{2022}}{3^{2021}}$.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
cuong2255

cuong2255

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết

Với các số thực $a, b, c$ đôi một khác nhau, chứng minh rằng $\sum{(\frac{a + b}{a - b})^{2022}} > \frac{2^{2022}}{3^{2021}}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cuong2255: 06-11-2021 - 20:10


#2
kietdz

kietdz

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 14 Bài viết

Đầu tiên, ta đi chứng minh: $P=\sum{\left(\frac{a+b}{a-b}\right)^2}\geq2$

Thật vậy, ta có: $$P=\sum{\frac{[(a+b)(a+b-2c)]^2}{[(a-b)(a+b-2c)]^2}}\geq\frac{[\sum{(a+b)(a+b-2c)}]^2}{\sum{[(a-b)(a+b-2c)]^2}}=2$$

Mà $$\sum{\left(\frac{a+b}{a-b}\right)^{2022}}\geq3\left[\frac{\sum{\left(\frac{a+b}{a-b}\right)}^2}{3}\right]^{1011}\geq3\left(\frac{2}{3}\right)^{1011}$$

Vậy ta cần chứng minh $\left(\frac{2}{3}\right)^{1011}>\left(\frac{2}{3}\right)^{2022}$ (hiển nhiên đúng). Hoàn tất chứng minh.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kietdz: 07-11-2021 - 15:11





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh