Đến nội dung

Hình ảnh

Giả sử $p, q$ là các số nguyên tố sao cho $pq + a$ và $bp + q$ cũng là các số nguyên tố. Chứng minh rằng a + 6 là số nguyên tố.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
cuong2255

cuong2255

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết

Cho $a, b$ là các số nguyên dương sao cho $(a, 6) = 1$ và $(a + b)$ chia hết cho 3. Giả sử $p, q$ là các số nguyên tố sao cho $pq + a$ và $bp + q$ cũng là các số nguyên tố. Chứng minh rằng $a + 6$ là số nguyên tố.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cuong2255: 06-11-2021 - 21:20


#2
Nguyen Bao Khanh

Nguyen Bao Khanh

    Hạ sĩ

  • Hái lộc VMF 2024
  • 74 Bài viết

Do $pq+a \ge 5 > 2$ nên $pq+a$ lẻ mà $(a,6)=1$ nên $pq$ chẵn. Do đó $p$ hoặc $q$ chẵn. Nếu $p=2$ thì $2q+a,2b+q$ nguyên tố không chia hết cho 3. Với $a$ chia 3 dư 1 thì $b$ chia 3 dư 2 $2q+a\equiv 2q+1, 2b+q\equiv 1+q(mod3)$ Còn $a \equiv 2(mod3)\to b \equiv 1(mod3) \to 2q+a\equiv 2q+2,2b+q\equiv 2+q(mod 3)$. Xét các trường hợp suy ra $q\vdots 3$ hay $q=3$. Nếu $q=2$ thì $2p+a,bp+2$ nguyên tố không chia hết cho 3, làm tương tự cũng suy ra được $p=3$. Do đó $a+pq=a+6$ nguyên tố.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 07-05-2023 - 14:24
LaTeX





3 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh