Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

BĐT

bđt

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 ThuHa2504

ThuHa2504

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 70 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THCS Ngô Thì Nhậm
  • Sở thích:làm toán và nghe nhạc

Đã gửi 10-02-2020 - 09:22

$a,b,c> 0$ CM

  $\sum \frac{a^2-bc}{2a^2+b^2+c^2} \geq 0$



#2 WaduPunch

WaduPunch

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 293 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K47-THPT chuyên PBC

Đã gửi 10-02-2020 - 11:20

BĐT cần chứng minh $\Leftrightarrow \sum \frac{(b+c)^2}{2a^2+b^2+c^2}\leq3$

Ta có: $L.H.S \leq \sum (\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2})=3$

Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c$



#3 ThuHa2504

ThuHa2504

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 70 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THCS Ngô Thì Nhậm
  • Sở thích:làm toán và nghe nhạc

Đã gửi 10-02-2020 - 13:45

BĐT cần chứng minh $\Leftrightarrow \sum \frac{(b+c)^2}{2a^2+b^2+c^2}\leq3$

Ta có: $L.H.S \leq \sum (\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2})=3$

Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c$

Bạn làm đúng rồi :D , hình như còn cách nữa đấy



#4 WaduPunch

WaduPunch

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 293 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K47-THPT chuyên PBC

Đã gửi 11-02-2020 - 00:30

Bạn làm đúng rồi :D , hình như còn cách nữa đấy

Cách 2: $L.H.S=\sum\frac{(a^2-bc)(b+c)}{(2a^2+b^2+c^2)(b+c)}$

Không làm mất tính tổng quát, giả sử $a\geq b\geq c$, khi đó: 

$(a^2-bc)(b+c)-(b^2-ca)(c+a)=(ab+c^2)(a-b)+c(a^2-b^2)\geq 0$

$(2a^2+b^2+c^2)(b+c)-(a^2+2b^2+c^2)(c+a)=(b-a)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\leq 0$

Vậy 2 bộ số sau ngược chiều 

$(a^2-bc)(b+c);(b^2-ca)(c+a);(c^2-ab)(a+b)$

Và $(2a^2+b^2+c^2)(b+c);(a^2+2b^2+c^2)(c+a);(a^2+b^2+2c^2)(a+b)$

mà $(a^2-bc)(b+c)+(b^2-ca)(c+a)+(c^2-ab)(a+b)=0$

Nên áp dụng BĐT Chebyshev ta có ĐPCM.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WaduPunch: 11-02-2020 - 00:32


#5 ThuHa2504

ThuHa2504

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 70 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THCS Ngô Thì Nhậm
  • Sở thích:làm toán và nghe nhạc

Đã gửi 13-02-2020 - 08:43

 

Cách 2: $L.H.S=\sum\frac{(a^2-bc)(b+c)}{(2a^2+b^2+c^2)(b+c)}$

Không làm mất tính tổng quát, giả sử $a\geq b\geq c$, khi đó: 

$(a^2-bc)(b+c)-(b^2-ca)(c+a)=(ab+c^2)(a-b)+c(a^2-b^2)\geq 0$

$(2a^2+b^2+c^2)(b+c)-(a^2+2b^2+c^2)(c+a)=(b-a)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\leq 0$

Vậy 2 bộ số sau ngược chiều 

$(a^2-bc)(b+c);(b^2-ca)(c+a);(c^2-ab)(a+b)$

Và $(2a^2+b^2+c^2)(b+c);(a^2+2b^2+c^2)(c+a);(a^2+b^2+2c^2)(a+b)$

mà $(a^2-bc)(b+c)+(b^2-ca)(c+a)+(c^2-ab)(a+b)=0$

Nên áp dụng BĐT Chebyshev ta có ĐPCM.

 

đúng rồi :D







0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh