Cho các số thực không âm thỏa $x^3+y^3+z^3=3$
Tìm GTLN của $3(xy+yz+zx)-xyz$
Cho các số thực không âm thỏa $x^3+y^3+z^3=3$
Tìm GTLN của $3(xy+yz+zx)-xyz$
Có $(x-1)^{2}\geq 0$
$\Leftrightarrow x^{2}-2x+1\geq 0$
$\Leftrightarrow (x^{2}-2x+1)(x+2)\geq 0$
$\Leftrightarrow x^{3}-3x+2\geq 0$
$\Leftrightarrow x^{3}\geq 3x-2$
Khi đó ta có
$x^{3}+y^{3}+z^{3}\geq 3(x+y+z)-6$
Hay $x+y+z\leq 3$
Xét $x^3+y^3+z^3-3xyz$
$=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$
$\leq 3(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$
Hay $3-3xyz\leq 3( x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$
$\Leftrightarrow 1-xyz\leq x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx$
$\Leftrightarrow -xyz\leq x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx-1$
$\Leftrightarrow 3(xy+yz+zx)-xyz\leq (x+y+z)^2-1\leq 8$( Do $x+y+z\leq 3$)
Dấu "=" xảy ra
$\Leftrightarrow x=y=z=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhng2k7: 08-11-2021 - 16:32
Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học
0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh