Chủ đề này có 1 trả lời

[KieranWilson]

Cho các số thực không âm thỏa $x^3+y^3+z^3=3$

Tìm GTLN của $3(xy+yz+zx)-xyz$

[thanhng2k7]

Có $(x-1)^{2}\geq 0$ 

$\Leftrightarrow x^{2}-2x+1\geq 0$

$\Leftrightarrow (x^{2}-2x+1)(x+2)\geq 0$

$\Leftrightarrow x^{3}-3x+2\geq 0$

$\Leftrightarrow x^{3}\geq 3x-2$

Khi đó ta có 

$x^{3}+y^{3}+z^{3}\geq 3(x+y+z)-6$

Hay $x+y+z\leq 3$

Xét $x^3+y^3+z^3-3xyz$

$=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$

$\leq 3(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$

Hay $3-3xyz\leq 3( x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$

$\Leftrightarrow 1-xyz\leq x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx$

$\Leftrightarrow -xyz\leq x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx-1$

$\Leftrightarrow 3(xy+yz+zx)-xyz\leq (x+y+z)^2-1\leq 8$( Do $x+y+z\leq 3$)

Dấu "=" xảy ra 

$\Leftrightarrow x=y=z=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhng2k7: 08-11-2021 - 16:32