Còn một cách chứng minh khác:
Viết lại bất đẳng thức đã cho thành $\sum \frac{(1-2a)^2)}{a^2+(b+c)^2}\geq \frac{3}{5}$
Áp dụng Bunhiacopxki dạng phân thức ta có
$\frac{(1-2b)^2}{b^2+(c+a)^2}+\frac{(1-2c)^2}{c^2+(a+b)^2)}\geq \frac{(2-2b-2c)^2}{b^2+c^2+(1-a)^2+(1-b)^2}=\frac{2a^2}{b^2+c^2+a}$
Quy về chứng minh $\frac{2a^2}{b^2+c^2+a}+\frac{(1-2a)^2}{a^2+(b+c)^2}\geq \frac{3}{5}$
Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số $(a-\frac{1}{3}),(b-\frac{1}{3}),(c-\frac{1}{3})$ cùng dấu, không mất tổng quát giả sử $(b-\frac{1}{3})(c-\frac{1}{3})\geq 0\Rightarrow b^2+c^2\leq (b+c-\frac{1}{3})^2+\frac{1}{9}$
Do đó $\frac{2a^2}{b^2+c^2+a}\geq \frac{2a^2}{(a-\frac{2}{3})^2+\frac{1}{9}+a}=\frac{18a^2}{9a^2-3a+5}$
Suy ra $\frac{2a^2}{b^2+c^2+a}+\frac{(1-2a)^2}{a^2+(b+c)^2}\geq \frac{18a^2}{9a^2-3a+5}+\frac{(1-2a)^2}{a^2+(b+c)^2}$
Dễ dàng cm $\frac{18a^2}{9a^2-3a+5}+\frac{(1-2a)^2}{a^2+(b+c)^2}\geq \frac{3}{5}$
$\Leftrightarrow (3a-1)^2(17a^2-8a+5)\geq 0$
Dấu"=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$