Cho các số thực không âm thỏa $a^3+b^3+c^3-3abc=1$
Tìm GTNN của $a^2+b^2+c^2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KieranWilson: 09-11-2021 - 19:01
Cho các số thực không âm thỏa $a^3+b^3+c^3-3abc=1$
Tìm GTNN của $a^2+b^2+c^2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KieranWilson: 09-11-2021 - 19:01
Từ giả thiết ta có $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=1$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=\frac{1}{a+b+c}+ab+bc+ca$
$\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)=\frac{2}{a+b+c}+2(ab+bc+ca)$
$\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)=\frac{2}{a+b+c}+(a+b+c)^2$
Áp dụng AM GM ta có
$\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{a+b+c}+(a+b+c)^2\geq 3$
Do đó$3(a^2+b^2+c^2)\geq 3$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq 1$
Min $ a^2+b^2+c^2=1$ tại
$a=b=0,c=1$ hoặc $a=c=0,b=1$ hoặc $c=b=0,a=1
Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học
Từ giả thiết ta có $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=1$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=\frac{1}{a+b+c}+ab+bc+ca$
$\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)=\frac{2}{a+b+c}+2(ab+bc+ca)$
$\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)=\frac{2}{a+b+c}+(a+b+c)^2$
Áp dụng AM GM ta có
$\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{a+b+c}+(a+b+c)^2\geq 3$
Do đó$3(a^2+b^2+c^2)\geq 3$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq 1$
Min $ a^2+b^2+c^2=1$ tại
$a=b=0,c=1$ hoặc $a=c=0,b=1$ hoặc $c=b=0,a=1
cảm ơn bạn nhưng $a,b,c$ là số dương mà
có thể do đề bài bạn sai hoặc mình làm nhầm
Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học
có thể do đề bài bạn sai hoặc mình làm nhầm
vậy chắc mình viết nhầm đề
vậy chắc mình viết nhầm đề
ok
Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học
Khi a,b,c dương và giả thiết sửa lại thành $a^3+b^3+c^3+3abc=1$ thì bài toán sẽ rất đẹp
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có :$1=\left [ a(a^{2}+bc)+b(b^{2}+ac)+c(c^{2}+ab) \right ]^{2}\leqslant (a^{2}+b^{2}+c^{2})\left [ a^{4}+b^{4}+c^{4}+a^{2}b^{2}+b^2c^2+c^2a^2+2abc(a+b+c) \right ]$
Mà $a^{4}+b^4+c^4+a^{2}b^{2}+b^2c^2+c^2a^2+2abc(a+b+c)=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}+2abc(a+b+c)-(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\leqslant (a^2+b^2+c^2)^{2}+abc(a+b+c)\leqslant \frac{4}{3}(a^2+b^2+c^2)^{2}$
Do đó $a^2+b^2+c^2\geqslant \sqrt[3]{\frac{3}{4}}$
Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c=\sqrt[3]{\frac{1}{6}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 09-11-2021 - 21:30
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh