Chủ đề này có 1 trả lời

[alexander123]

Tìm các số nguyên dương $x,y,z$ thỏa mãn: $3^x+2^y=1+2^z$

[KietLW9]

Vì $y$ nguyên dương nên $y\geqslant 1$

Trường hợp 1: $y=1$

Khi đó ta có $3^x+1=2^z$

Nếu $z$ lẻ thì $2^z\equiv 2(\text{mod 3})$, vô lí vì $x$ nguyên dương nên $3^x+1\equiv 1(\text{mod 3})$

Vậy $z$ chẵn nên đặt $z=2k$ lúc đó ta có $3^x+1=2^{2k}\Rightarrow 3^x=(2^k+1)(2^k-1)$

$\Rightarrow (2^k+1)(2^k-1)\vdots 3$ mà $(2^k+1)-(2^k-1)=2$ nên $2^k+1$ và $2^k-1$ không cùng chia hết cho 3 suy ra phải có 1 số bằng 1. Dễ có $2^k+1>2^k-1$ nên $2^k-1=1$ nên $k=1$ dẫn đến $z=2$. Thay lại vào phương trình tìm được x = 1. Từ đây ta có 1 bộ số $(x,y,z)=(1,1,2)$

Trường hợp 2: $y\geq 2$

Dễ thấy $3^x-1>0\Rightarrow 2^z-2^y>0\Rightarrow z>y\geqslant 2$ suy ra $2^z$ và $2^y$ cùng chia hết cho 4

Nếu $x$ lẻ thì $3^x-1\equiv 3-1\equiv 2(\text{mod 4})$, vô lí vậy $x$ chẵn, ta đặt $x=2m$

+) Nếu $y\geqslant 4$ thì $2^z$ và $2^y$ cùng chia hết cho 16 $\Rightarrow 3^x\equiv 1(\text{mod 16})$

hay $9^m\equiv 1(\text{mod 16})$

Xét $m$ lẻ thì  $9^m\equiv 9 (\text{mod 16})$ nên $m$ chẵn, đặt $m=2q$ thì $x=4q\Rightarrow 2^z-2^y=81^q-1\equiv 0(\text{mod 5})\Rightarrow 2^z-2^y\vdots 5\Rightarrow 2^y(2^{z-y}-1)\vdots 5$

Mà $2^y$ không chia hết cho 5 nên $2^{z-y}\equiv 1(\text{mod 5})$. Nếu $z-y$ lẻ thì đặt $z-y=2u+1$ suy ra $2^{z-y}=2^{2u+1}=4^u.2\equiv \pm 2(\text{mod 5})$, mâu thuẫn nên $z-y$ chẵn thì $z-y=2n$ lúc đó $2^y(2^{2n}-1)=3^x-1$ mà $2^y(2^{2n}-1)=2^y(4^n-1)\vdots 3\Rightarrow 3^x-1\vdots 3$ vô lí vì $x$ nguyên dương.

+) Nếu $2\leq y\leq 3$

Xét $y=2$ thì $3^x+3=2^z$ vô lí vì vế trái chia hết cho 3 còn vế phải không chia hết cho 3

Xét $y=3$ thì $3^x+7=2^z$ hay $3^{2m}+7=2^z$. Mà dễ thấy vế trái chia 3 dư 1 nên $2^z$ chia 3 dư 1 hay $z$ chẵn. Đặt $z=2t$ thì ta có: $2^{2t}-3^{2m}=7\Leftrightarrow (2^t+3^m)(2^t-3^m)=7$

Dễ thấy $2^t+3^m>2^t-3^m$ và $2^t+3^m>0$ nên $\left\{\begin{matrix}2^t+3^m=7 & \\ 2^t-3^m=1 & \end{matrix}\right.\Rightarrow 2.2^t=8\Rightarrow t=2$ lúc đó $z=4$ và $x=2$ 

Vậy ta tìm được 2 bộ số $\left ( x,y,z \right )=\left \{ \left ( 1,1,2 \right );\left ( 2,3,4 \right )  \right \}$