Chủ đề này có 2 trả lời

[quochuy50618]

 Bài 1: Cho tam giác ABC, đường cao BD,CE giao nhau tại trực tâm H. Gọi S,R là trung điểm BH,CH. SC giao BR tại Q, ES giao DR tại G. Chứng minh rằng A,Q,G thẳng hàng. 

 Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), trực tâm H. M là trung điểm BC. Tia MH cắt (O) tại E. Đường thẳng qua qua A song song với BC cắt (O) tại D. DE giao OH tại T. Chứng minh rằng TA tiếp xúc với (O). 

[Hoang72]

Bài 1:

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.

Gọi $(O_c)$ là đường tròn Euler của $\Delta ABC$. Gọi $X,Y$ lần lượt là trung điểm của $AC,AB$.

Theo kết quả quen thuộc ta có $YR$ và $XS$ là đường kính của $(O_c)$.

Áp dụng định lý Pascal cho hai bộ ba điểm $\begin{pmatrix} E &R & X\\D &S & Y \end{pmatrix}$ ta có $A,O_c,G$ thẳng hàng. (1)

Gọi $T$ là trọng tâm của $\Delta ABC$.

Ta có $TQ||OM$ nên $\frac{TQ}{OM}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{TQ}{AH}=\frac{1}{3}=\frac{TO_c}{HO_c}$.

Từ đó $A,O_c,Q$ thẳng hàng. Kết hợp với $(1)$ ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 13-11-2021 - 20:27

[Hoang72]

Kẻ $AL\perp OT(L\in OT)$.

Tia $HM$ cắt $(O)$ tại $J$. Khi đó $AJ$ là đường kính của $(O)$.

Dễ thấy tứ giác $AEHL$ nội tiếp. Do đó $\angle ELH=\angle EAH=90^o-\angle AHE=90^o-EJD=\angle EDO$. (Do $AH||DJ$)

Từ đó tứ giác $EOLD$ nội tiếp.

Ta có $\angle OLE=\angle ODE=\angle OED\Rightarrow \Delta OEL\sim\Delta OTE(g.g)\Rightarrow OL.OT=OE^2=OA^2\Rightarrow \Delta OLA\sim\Delta OAT(c.g.c)\Rightarrow \angle OAT=90^o$.

Vậy $AT$ là tiếp tuyến của $(O)$.