Đến nội dung

Hình ảnh

Hai phương trình $x^2+(a-1)x+1=0; x^2+(b+1)+c=0$ có nghiệm chung, đồng thời hai phương trình $x^2+x+a-1=0;x^2+cx+b+1=0$ cũng có nghiệm chung

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

1) Hai phương trình $x^2+(a-1)x+1=0; x^2+(b+1)+c=0$ có nghiệm chung, đồng thời hai phương trình $x^2+x+a-1=0;x^2+cx+b+1=0$ cũng có nghiệm chung. Tính $\frac{2004a}{b+c}$

2) Cho hàm số $f(x)=ax^2+bx+c$ thỏa mãn $|f(-1)|\leqslant 1, |f(0)|\leqslant 1, |f(1)|\leqslant 1$. Chứng minh rằng $|f(x)|\leqslant \frac{5}{4}$ khi $|x| \leqslant 1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 15-11-2021 - 20:46

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#2
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

2) Đặt $A=f(-1);B=f(0);C=f(1)$. Khi đó $|A|,|B|,|C|\leq 1$.

Ta có $c=B;b=\frac{C-A}{2};a=\frac{A+C}{2}-B$.

Do đó với $-1\leq x\leq 1$ thì $|f(x)|=|ax^2+bx+c|=\left|\frac{A+C-2B}{2}x^2+\frac{C-A}{2}x+B\right|=\left|\frac{A}{2}(x^2-x)+\frac{C}{2}(x^2+x)+B(1-x^2)\right|\leq \frac{1}{2}|x^2-x|+\frac{1}{2}|x^2+x|+|1-x^2|=x+1-x^2=\frac{5}{4}-\left ( x-\frac{1}{2} \right )^2\leq \frac{5}{4}$.



#3
nhancccp

nhancccp

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 130 Bài viết

1) Hai phương trình $x^2+(a-1)x+1=0; x^2+(b+1)+c=0$ có nghiệm chung, đồng thời hai phương trình $x^2+x+a-1=0;x^2+cx+b+1=0$ cũng có nghiệm chung. Tính $\frac{2004a}{b+c}$

2) Cho hàm số $f(x)=ax^2+bx+c$ thỏa mãn $|f(-1)|\leqslant 1, |f(0)|\leqslant 1, |f(1)|\leqslant 1$. Chứng minh rằng $|f(x)|\leqslant \frac{5}{4}$ khi $|x| \leqslant 1$

Hình như đề bài câu 1 là :1) Hai phương trình $x^2+(a-1)x+1=0 (1); x^2+(b+1)x+c=0(2)$ có nghiệm chung, đồng thời hai phương trình $x^2+x+a-1=0(3);x^2+cx+b+1=0(4)$ cũng có nghiệm chung. Tính $\frac{2004a}{b+c}$

Nếu đề bài như vậy thì giải như sau:

Để phương trình (1) có nghiệm thì $\Delta_1=a^2+2a-3>0 \Leftrightarrow a\geq3;a\geq-1$

Gọi $x_0$ là nghiệm chung của phương trình $(1);(2)$,ta có $\left\{\begin{matrix} & x_0^2 +(a-1)x_0+1=0\\ & x_0^2+(b+1)x+c=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow (a-b-2)x_0=c-1$

Gọi $x_1$ là nghiệm chung của phương trình $(3);(4)$ ta có $\left\{\begin{matrix} & x_1^2+x+a-1=0\\ & x_1^2 +cx_1+b+1=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow (c-1)x_1=a-b-2$

Nếu $a=b+2;c=1$ thì $x=\frac{1-a\pm \sqrt{a^2+2a-3}}{2}$.Thế vào (1) ta có $\frac{(1-a\pm \sqrt{a^2+2a-3})^2}{4}+\frac{(a-1)(1-a\pm \sqrt{a^2+2a-3})}{2}+1=0$ (giải ra a rồi đối chiếu với điều kiện (1) có nghiệm thấy a không thỏa mãn)

Nếu $a \neq b+2;c=1$$\Rightarrow x_0=0$.Thế vào (1) ta có 1=0(vô lý)

Nếu $a \neq b+2;c \neq 1$ thì $x_0=\frac{c-1}{a-b-2}$ và $x_1=\frac{a-b-2}{c-1}$

Áp dụng hệ thức viet cho phương trình (1) ta có $x_0x_2=1$ $\Rightarrow x_2=\frac{a-b-2}{c-1}=x_1$, với $x_2$ là nghiệm còn lại của (1) 

Vậy phương trình (1) và (3) có nghiệm chung $x_1$ ta có $\left\{\begin{matrix} & x_1^2+(a-1)x_1+1=0\\ & x_1^2+x_1+a-1=0 \end{matrix}\right.$$\Rightarrow x_1=1$

Thế $x_1=1$ vào phương trình (3) ta có $a=-1$.Mặt khác suy ra $a-b-2=c-1\Rightarrow b+c=-2$

Vậy $\frac{2004a}{b+c}=1002$


Chuông vẳng nơi nao nhớ lạ lùng
Ra đi ai chẳng nhớ chùa chung
Mái chùa che chở hồn dân tộc 
Nếp sống bao đời của tổ tông
Thích Mãn Giác




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh