Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

CMR: 2(a^2+b^2+c^2) + abc >= 7


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 HPhatMessi

HPhatMessi

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 31 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sóc Trăng

Đã gửi 12-02-2020 - 22:18

Cho các số thực dương thoả mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng: 

 

$2( a2 + b2 + c2 ) + abc \geq 7$



#2 Yaya

Yaya

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 71 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP. Hồ Chí Minh
  • Sở thích:Làm toán và đá banh

Đã gửi 13-02-2020 - 03:06

$2(a^2+b^2+c^2)+abc \geq (a+b+c)^2+abc=9+abc \geq 7 $



#3 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 452 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 13-02-2020 - 06:14

Hình như nguyên khúc đó sai thì phải?

Bài này mình nghĩ đặt $(a;b;c)=(\frac{3x}{x+y+z};\frac{3y}{x+y+z};\frac{3z}{x+y+z});x,y,z>0$ là đưa nó về đồng bậc và có thế dùng SOS.

Hoặc dựa vào giả thiết để đồng bậc trực tiếp luôn cũng được :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 17-02-2020 - 14:05


#4 Yaya

Yaya

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 71 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP. Hồ Chí Minh
  • Sở thích:Làm toán và đá banh

Đã gửi 13-02-2020 - 10:11

Hình như nguyên khúc đó sai thì phải?

Bài nay mình nghĩ đặt $(a;b;c)=(\frac{3x}{x+y+z};\frac{3y}{x+y+z};\frac{3z}{x+y+z});x,y,z>0$ là nó đưa về đồng bậc và dùng SOS.

Hoặc dựa trên giả thiết đồng bậc trực tiếp luôn cũng được :D

Lúc đầu mình cũng nghĩ đưa 2 về về cùng bậc cho dễ chứng minh nhưng biến đổi bình thường thì lại ko đưa ra dc điều muốn làm, vì vậy làm thử cái khúc trên như vậy thấy nó cứ ảo ảo sao á, ra a,b,c>0 nên 9+abc>7 mà nhỉ, có điều dấu bằng ko xảy ra thôi, bạn làm kĩ khúc SOS dc ko, mình chỉ biết chứ ko rành về kĩ thuật này.



#5 HPhatMessi

HPhatMessi

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 31 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sóc Trăng

Đã gửi 13-02-2020 - 11:32

Các bạn giải thích kĩ đc không? 

Mình mới học lớp 9 không biết mấy cái này



#6 Sin99

Sin99

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 551 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 13-02-2020 - 15:10

Ta sẽ chứng minh $ a^2 + b^2 + c^2 + 2abc + 1 \geq 2(ab+bc+ac) $

Không mất tính tổng quát, giả sử $ c(a-1)(b-1) \geq 0 $ 

Suy ra $ abc \geq ca + cb - c = c(a+b) - c $

$ \Rightarrow  a^2 + b^2 + c^2 + 2abc + 1 \geq a^2 + b^2 + c^2 + 2c(a+b) - 2c + 1 $

Cần chứng minh $ a^2 + b^2 + c^2 + 2c(a+b) - 2c + 1  \geq 2(ab+bc+ac) \Leftrightarrow (a-b)^2 + (c-1)^2 \geq 0 $ (Đúng)

Áp dụng : Ta có $ VT = (a^2 +b^2+c^2) + (a^2+b^2+c^2)+abc \geq 2(ab+bc+ac)  - 2abc - 1 +(a^2+b^2+c^2)+abc = (a+b+c)^2 - abc - 1 \geq 9 - \frac{(a+b+c)^3}{27} - 1 = 9 - 1 -1 = 7 $.

Dấu "=" khi $ a=b=c =1$

( Có thể tham khảo thêm cách chứng minh BĐT đầu : https://diendantoanh...bc1geq-2abbcca/ )


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 13-02-2020 - 15:22

๐·°(৹˃̵﹏˂̵৹)°·๐


#7 Sin99

Sin99

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 551 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 13-02-2020 - 15:18

Cách 2 : Đơn giản hơn sử dụng BĐT Schur bậc 3.

Ta sẽ chứng minh $ a^2 + b^2+c^2 + \frac{9abc}{a+b+c} \geq 2(ab+bc+ac) $ 

$ \Leftrightarrow a^3 + b^3 + c^3 + 3abc \geq ab(a+b) + bc(b+c) + ac(a+c) $ 

Tham khảo tại đây https://diendantoanh...o-si-hộ-em-với/

Áp dụng $ VT \geq a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab+bc+ac) - \frac{9abc}{a+b+c} + abc = (a+b+c)^2 - 2abc \geq 9 - 2\frac{(a+b+c)^3}{27} = 9-2=7 $


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 13-02-2020 - 15:20

๐·°(৹˃̵﹏˂̵৹)°·๐


#8 HPhatMessi

HPhatMessi

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 31 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sóc Trăng

Đã gửi 13-02-2020 - 18:17

Cảm ơn mọi người ạ!






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh