Chủ đề này có 7 trả lời

[HPhatMessi]

Cho các số thực dương thoả mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng: 

 

$2( a² + b² + c² ) + abc \geq 7$

[Yaya]

$2(a^2+b^2+c^2)+abc \geq (a+b+c)^2+abc=9+abc \geq 7 $

[tthnew]

$2(a^2+b^2+c^2)+abc \geq (a+b+c)^2+abc=9+abc \geq 7 $

Hình như nguyên khúc đó sai thì phải?

Bài này mình nghĩ đặt $(a;b;c)=(\frac{3x}{x+y+z};\frac{3y}{x+y+z};\frac{3z}{x+y+z});x,y,z>0$ là đưa nó về đồng bậc và có thế dùng SOS.

Hoặc dựa vào giả thiết để đồng bậc trực tiếp luôn cũng được

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 17-02-2020 - 14:05

[Yaya]

Hình như nguyên khúc đó sai thì phải?

Bài nay mình nghĩ đặt $(a;b;c)=(\frac{3x}{x+y+z};\frac{3y}{x+y+z};\frac{3z}{x+y+z});x,y,z>0$ là nó đưa về đồng bậc và dùng SOS.

Hoặc dựa trên giả thiết đồng bậc trực tiếp luôn cũng được

Lúc đầu mình cũng nghĩ đưa 2 về về cùng bậc cho dễ chứng minh nhưng biến đổi bình thường thì lại ko đưa ra dc điều muốn làm, vì vậy làm thử cái khúc trên như vậy thấy nó cứ ảo ảo sao á, ra a,b,c>0 nên 9+abc>7 mà nhỉ, có điều dấu bằng ko xảy ra thôi, bạn làm kĩ khúc SOS dc ko, mình chỉ biết chứ ko rành về kĩ thuật này.

[HPhatMessi]

Các bạn giải thích kĩ đc không? 

Mình mới học lớp 9 không biết mấy cái này

[Sin99]

Ta sẽ chứng minh $ a^2 + b^2 + c^2 + 2abc + 1 \geq 2(ab+bc+ac) $

Không mất tính tổng quát, giả sử $ c(a-1)(b-1) \geq 0 $ 

Suy ra $ abc \geq ca + cb - c = c(a+b) - c $

$ \Rightarrow  a^2 + b^2 + c^2 + 2abc + 1 \geq a^2 + b^2 + c^2 + 2c(a+b) - 2c + 1 $

Cần chứng minh $ a^2 + b^2 + c^2 + 2c(a+b) - 2c + 1  \geq 2(ab+bc+ac) \Leftrightarrow (a-b)^2 + (c-1)^2 \geq 0 $ (Đúng)

Áp dụng : Ta có $ VT = (a^2 +b^2+c^2) + (a^2+b^2+c^2)+abc \geq 2(ab+bc+ac)  - 2abc - 1 +(a^2+b^2+c^2)+abc = (a+b+c)^2 - abc - 1 \geq 9 - \frac{(a+b+c)^3}{27} - 1 = 9 - 1 -1 = 7 $.

Dấu "=" khi $ a=b=c =1$

( Có thể tham khảo thêm cách chứng minh BĐT đầu : https://diendantoanh...bc1geq-2abbcca/ )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 13-02-2020 - 15:22

[Sin99]

Cách 2 : Đơn giản hơn sử dụng BĐT Schur bậc 3.

Ta sẽ chứng minh $ a^2 + b^2+c^2 + \frac{9abc}{a+b+c} \geq 2(ab+bc+ac) $ 

$ \Leftrightarrow a^3 + b^3 + c^3 + 3abc \geq ab(a+b) + bc(b+c) + ac(a+c) $ 

Tham khảo tại đây https://diendantoanh...o-si-hộ-em-với/

Áp dụng $ VT \geq a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab+bc+ac) - \frac{9abc}{a+b+c} + abc = (a+b+c)^2 - 2abc \geq 9 - 2\frac{(a+b+c)^3}{27} = 9-2=7 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 13-02-2020 - 15:20

[HPhatMessi]

Cảm ơn mọi người ạ!