Giải phương trình nghiệm nguyên: $2^n=x^2-80$
Giải phương trình nghiệm nguyên: $2^n=x^2-80$
#1
Đã gửi 16-11-2021 - 14:28
- NguyenDangD yêu thích
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
#2
Đã gửi 16-11-2021 - 18:29
Vế phải là 1 số nguyên nên $n$ không âm.
Ta có nhận xét sau: Nếu $x$ là nghiệm thì $-x$ cũng là nghiêm, vậy chỉ cần xét $x$ không âm.
Bằng cách xét chữ số tận cùng của 2 vế, dễ thấy $n$ phải là số chẵn.
Đặt $n=2k$ ($k$ là số nguyên không âm)
Ta có: $$2^{2k}=x^2-80\Leftrightarrow x^2-2^{2k}=(x-2^k)(x+2^k)=80$$
Dễ thấy $x+2^k>x-2^k\geq0$ và $x+2^k$ cùng tính chẵn lẻ với $x-2^k$ nên ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: $x-2^k=2$ và $x+2^k=40$ $\Rightarrow 2^k=19$ (vô nghiệm)
Trường hợp 2: $x-2^k=4$ và $x+2^k=20$ $\Rightarrow x=12, 2^k=8 \Leftarrow x=12, n=6$
Trường hợp 3: $x-2^k=8$ và $x+2^k=10$ $\Rightarrow x=9, 2^k=1 \Leftarrow x=9, n=0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kietdz: 16-11-2021 - 18:31
- KietLW9 yêu thích
#3
Đã gửi 16-11-2021 - 20:06
Dễ dàng thấy $n\geq 0$ nên
+) Với $n=0$ suy ra $x=9$
+) Với $n=1$ suy ra $x^2=82$ (vô lí)
+) Với $n=2$ suy ra $x^2=84$ (vô lí)
+) Với $n=3$ suy ra $x^2=88$ (vô lí)
+) Với $n=4$ suy ra $x^2=96$ (vô lí)
+) Với $n=5$ suy ra $x^2=112$ (vô lí)
+) Với $n=6$ suy ra $x=12$
+) Với $n=7$ suy ra $x^2=208$ (vô lí)
+) Với $n\geq 8$
$2^n=x^2-80 (*) $ $2|x$ suy ra
$x^2=4k^2$ Thay vào (*) ta được $2^n=4k^2-80$
$2^{n-2}=k^2-20$
Suy ra $2|k$ nên $k^2=4m^2$ Thay và (*) ta được
$2^{n-2}=4m^2 -20$
$2^{n-4}=m^2-5$ nên
$m=2q+1$ suy ra $m^2=4q^2+4q+1$
Thay vào (*) ta được
$2^{n-4}=4q^2+4q-4$
$2^{n-6}=q^2 +q-1$
+) Nếu $q=2a$ thì (*) được
$2^{n-6}=4a^2+2a-1$ ( vô lí vì VT chẵn mà VP lẻ)
+) Nếu $q=2a+1$ thì (*) tương đương
$2^{n-6}=4a^2 +4a+1+2a+1-1$
$2^{n-6}=4a^2+6a+1$ (vô lí vì VT chẵn mà VP lè)
Vậy $(x,n)=(9;0),(-9;0),(12;6),(-12,6)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyenDangD: 16-11-2021 - 20:58
3 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh