Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm các số nguyên dương $a,b,c,d$ thỏa mãn $a+b−c−d=p$, với $p$ là số nguyên tố và $ab = cd$.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
NguyenDangD

NguyenDangD

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết
Tìm các số nguyên dương $a,b,c,d$ thỏa mãn $a+b−c−d=p$, với $p$
là số nguyên tố và $ab = cd$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 16-11-2021 - 21:59


#2
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Đặt $(a,c)=m;(b,d)=n$. Khi đó $a=mx; c=my; b=nz; d=nt$ với $(x,y)=(z,t)=1$.

Ta có $ab=cd$ nên $xz=yt$.

Từ đó $xz\vdots y$. Mà $(x,y)=1$ nên $z\vdots y$.

Tương tự $yt\vdots z\Rightarrow y\vdots z$.

Do đó $y=z\Rightarrow x=t$.

Ta có $a+b-c-d=(m-n)(x-y)$.

không mất tính tổng quát giả sử $a>c\Rightarrow x>y$.

Do đó để $(m-n)(x-y)$ là số nguyên tố thì $m-n=1;x-y\in\mathbb P$ hoặc $m-n\in\mathbb P;x-y=1$.

Bài toán có vô số nghiệm.






3 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh